高中数学第四章数列章末整合课件新人教A版选择性必修第二册 18页

章末整合 专题一 　 等差 ( 比 ) 数列的基本运算   例 1 等比数列 { a n } 中 , 已知 a 1 = 2, a 4 = 16 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 a 3 , a 5 分别为等差数列 { b n } 的第 3 项和第 5 项 , 试求数列 { b n } 的通项公式及前 n 项和 S n . 解 : (1) 设 { a n } 的公比为 q , 由已知得 16 = 2 q 3 , 解得 q= 2, ∴ a n = 2 × 2 n- 1 = 2 n . (2) 由 (1) 得 a 3 = 8, a 5 = 32, 则 b 3 = 8, b 5 = 32 . 设 { b n } 的公差为 d , 规律方法等差数列与等比数列的基本运算的求解策略 在等差数列和等比数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式 S n 中 , 共涉及五个量 , a 1 , a n , n , d ( 或 q ), S n , 其中 a 1 和 d ( 或 q ) 为基本量 . “ 知三求二 ” 是指将已知条件转换成关于 a 1 , d ( q ), a n , S n , n 的方程组 , 利用方程的思想求出需要的量 . 当然在求解中若能运用等差 ( 比 ) 数列的性质会更好 , 这样可以化繁为简 , 减少运算量 , 同时还要注意整体代入思想方法的运用 . 变式训练 1 已知等差数列 { a n } 的公差 d= 1, 前 n 项和为 S n . (1) 若 1, a 1 , a 3 成等比数列 , 求 a 1 ; (2) 若 S 5 >a 1 a 9 , 求 a 1 的取值范围 . 专题二 　 求数列的通项公式   例 2 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 + 2 n , 求 a n . (2) 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 且 a 1 = 1, a n+ 1 = S n , 求 a n . 解 : (1) 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = 3 + 2 n - (3 + 2 n- 1 ) = 2 n- 1 , 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 5 不适合上式 . (2) ∵ S n = 3 a n+ 1 , ① ∴ n ≥ 2 时 , S n- 1 = 3 a n . ② ① - ② 得 S n -S n- 1 = 3 a n+ 1 - 3 a n , 规律方法数列通项公式的求法 (1) 定义法 , 即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法 . 这种方法适用于已知数列类型的题目 . (2) 已知 S n 求 a n . 若已知数列的前 n 项和 S n 与 a n 的关系 , 求数列 { a n } 变式训练 2 设数列 { a n } 是首项为 1 的正项数列 , 且 a n+ 1 -a n +a n+ 1 · a n = 0( n ∈ N * ), 求 { a n } 的通项公式 . 专题三 　 数列求和   例 3 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =kc n -k ( 其中 c , k 为常数且 k ≠0, c ≠1), 且 a 2 = 4, a 6 = 8 a 3 , (1) 求 a n ; (2) 求数列 { na n } 的前 n 项和 T n . 解 : (1) 当 n> 1 时 , a n =S n -S n- 1 =k ( c n -c n- 1 ), 则 a 6 =k ( c 6 -c 5 ), a 3 =k ( c 3 -c 2 ), ∵ a 2 = 4, 即 k ( c 2 -c 1 ) = 4, 解得 k= 2, ∴ a n = 2 n . 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 2 . 综上所述 , a n = 2 n ( n ∈ N * ) . (2) na n =n ·2 n , 则 T n = 2 + 2·2 2 + 3·2 3 + … +n ·2 n , 2 T n = 1·2 2 + 2·2 3 + 3·2 4 + … + ( n- 1)·2 n +n ·2 n+ 1 , 两式作差得 -T n = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 n -n ·2 n+ 1 , T n = 2 + ( n- 1)·2 n+ 1 . 方法总结数列求和的常用方法 (1) 公式法 : 利用等差数列或等比数列前 n 项和公式 . (2) 分组求和法 : 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 . (3) 裂项 ( 相消 ) 法 : 把一个数列的通项公式分成两项差的形式 , 相加过程消去中间项 , 只剩有限项再求和 . (4) 错位相减法 : 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 . (5) 倒序相加法 : 适用于等差数列前 n 项和公式的推导 . (6) 并项转化法 : 如果一个数列的项是正负交错的 , 尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时 , 可以依次两项两项 ( 或几项几项 ) 合并 , 再利用其他相关的方法进行求和 . 延伸探究 本例中的条件不变 ,(2) 中 “ 求数列 { na n } 的前 n 项和 T n ” 变为 “ 求数列 { n+a n } 的前 n 项和 T n ” . 解 : 由题知 T n = 1 + 2 + 2 + 2 2 + 3 + 2 3 + … +n+ 2 n = (1 + 2 + 3 + … +n ) + (2 + 2 2 + … + 2 n ) 专题四 　 等差 ( 比 ) 数列的判定   例 4 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 1, S n+ 1 = 4 a n + 2( n ∈ N * ) . (1) 设 b n =a n+ 1 - 2 a n , 求证 :{ b n } 是等比数列 . 因为 S 2 =a 1 +a 2 = 4 a 1 + 2, 所以 a 2 = 5 . 所以 b 1 =a 2 - 2 a 1 = 3 . 所以数列 { b n } 是首项为 3, 公比为 2 的等比数列 . 所以数列 { c n } 是等差数列 , 公差为 3, 首项为 2 . 方法总结等差数列、等比数列的判断方法 (1) 定义法 : a n+ 1 -a n =d ( n ≥ 1, n ∈ N * , d 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 ; = q ( n ≥ 1, n ∈ N * , q 为常数 , q ≠0) ⇔ { a n } 是等比数列 . (2) 中项公式法 :2 a n+ 1 =a n +a n+ 2 ( n ≥ 1, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 ; =a n ·a n+ 2 ( n ≥ 1, n ∈ N * , a n ≠0) ⇔ { a n } 是等比数列 . (3) 通项公式法 : a n =kn+b ( n ≥ 1, n ∈ N * , k , b 是常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 ; a n =c·q n ( n ≥ 1, n ∈ N * , c , q 为非零常数 ) ⇔ { a n } 是等比数列 . (4) 前 n 项和公式法 : S n =An 2 +Bn ( A , B 为常数 , n ≥ 1, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 ; S n =Aq n -A ( A , q 为常数 , 且 A ≠0, q ≠0, q ≠1, n ≥ 1, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是公比不等于 1 的等比数列 . 变式训练 3 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 1, na n+ 1 = 2( n+ 1) a n . 设 (1) 求 b 1 , b 2 , b 3 ; (2) 判断数列 { b n } 是否为等比数列 , 并说明理由 ; (3) 求 { a n } 的通项公式 . 将 n= 1 代入 , 得 a 2 = 4 a 1 , 而 a 1 = 1, 所以 , a 2 = 4 . 将 n= 2 代入 , 得 a 3 = 3 a 2 , 所以 , a 3 = 12 . 从而 b 1 = 1, b 2 = 2, b 3 = 4 . (2){ b n } 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 . 专题五 　 数学归纳法   (1) 写出 a 2 , a 3 , a 4 的值 , 并猜想数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 用数学归纳法证明你的结论 . 名师点评 1 . 数学归纳法的两点关注 (1) 关注点一 : 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型 , 其关键点在于 “ 先看项 ”, 弄清等式两边的构成规律 , 等式两边各有多少项 , 初始值 n 0 是多少 . (2) 关注点二 : 由 n=k 到 n=k+ 1 时 , 除等式两边变化的项外还要利用 n=k 时的式子 , 即利用假设 , 正确写出归纳证明的步骤 , 从而使问题得以证明 . 2 . 与 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 相关的常见题型的处理策略 (1) 与函数有关的证明 : 由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想 , 充分利用已知条件并用数学归纳法证明 . (2) 与数列有关的证明 : 利用已知条件 , 当直接证明遇阻时 , 可考虑应用数学归纳法 . 这就是说当 n=k+ 1 时 , 不等式也成立 . 由 ①② 可知 , 原不等式对任意大于 1 的正整数都成立 .