2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6 28页

第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. NEI RONG SUO YIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 知识点一　余弦定理 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于_____________________ _________________________________ 公式表达 a2＝ ， b2＝ ， c2＝________________ 推论 cos A＝ ，cos B＝ ， cos C＝___________ 其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理. 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 知识点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 . 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 知识点三　解三角形 元素 解三角形 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　) 2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.(　　) 3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　) 4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　) × × √ √ 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，A＝30°，求a； 一、已知两边及一角解三角形 解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，求角A、角C和边a. 解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； A＝90°，C＝60°. 反思 感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边 的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求 第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次 方程，解方程求出第三边. 跟踪训练1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ；sin A＝ .2 解得c＝2. 二、已知三边解三角形 例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角. 解　∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理的推论， 又∵0°c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形 ⇔ a2＋b2b>c，∴C为最小角且C为锐角， 1 2 3 4 5 √ 4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 A.90° B.120° C.135° D.150° 1 2 3 4 5 √ 解析　设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8， ∴∠B＝60°， ∵BC>AC>AB，∴A>B>C， ∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°. 1 2 3 4 5 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 本课结束 更多精彩内容请登录：www.91taoke.com