2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 章末综合提升 13页

www.ks5u.com ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 空间几何体的表面积与体积 ‎【例1】　17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD‎3”‎中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝(　　)‎ A．∶∶1 B．∶∶2‎ C．1∶3∶ D．1∶∶ D　[球中，V＝πR3＝π＝D3＝k1D3，所以k1＝；‎ 等边圆柱中，V＝π·D＝D3＝k2D3，所以k2＝；‎ 正方体中，V＝D3＝k3D3，所以k3＝1，‎ 所以k1∶k2∶k3＝∶∶1＝1∶∶.]‎ 记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.‎ ‎1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A．142π平方尺 B．140π平方尺 C．138π平方尺 D．128π平方尺 C　[可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为＝尺，所以表面积为4π×＝138π平方尺．]‎ 与球有关的切、接问题 ‎【例2】　求棱长为a的正四面体的外接球、内切球及棱切球的半径．‎ ‎[思路探究]　正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O重合，则内切球的半径为点O到各面的距离，外接球的半径为点O到各顶点的距离，棱切球的半径为点O到各棱的距离．‎ ‎[解]　由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体ABCD的高为AG，O为正四面体的中心，连接CG并延长交BD于点E，连接OC，OE，则外接球的半径R＝OA＝OC．由题意可得CE＝，‎ 则CG＝CE＝，EG＝CE＝，‎ 所以AG＝＝.所以OG＝－R.‎ 在Rt△OCG中，OC2＝OG2＋CG2，‎ 即R2＝＋，解得R＝.‎ 所以内切球的半径r＝OG＝－＝.‎ 棱切球的半径为OE＝＝＝.‎ 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：‎ ‎2．(1)已知正方体的外接球的体积是，那么正方体的棱长是(　　)‎ A．2 B． C． D． ‎(2)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为(　　)‎ A．12 B．‎18 C．24 D．54 ‎(1)D　(2)B　[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝可得棱长a为 .‎ ‎(2)设等边△ABC的边长为x，则x2sin 60°＝9，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.]‎ 空间中的平行关系 ‎【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[思路探究]　假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点．‎ ‎[解]　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是BD的中点．∴OF∥PD．‎ 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，‎ ‎∴OF∥平面PMD．又MAPB，∴PFMA．‎ ‎∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.‎ 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，‎ ‎∴AF∥平面PMD．‎ 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．‎ ‎∴平面AFC∥平面PMD．‎ 空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．‎ ‎3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.‎ ‎[证明]　连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，‎ 又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，‎ 所以PA∥平面BDM，‎ 又因为PA⊂平面PAHG，‎ 平面PAHG∩平面BDM＝GH，‎ 所以PA∥GH.‎ 空间中的垂直关系 ‎【例4】　如图所示，在斜三棱柱A1B‎1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB‎1C1C⊥底面ABC．‎ ‎(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；‎ ‎(2)过侧面BB‎1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB‎1C1C．‎ ‎[解]　(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，‎ 所以AD⊥BC．‎ 因为底面ABC⊥侧面BB‎1C1C，底面ABC∩侧面BB‎1C1C＝BC，‎ 所以AD⊥侧面BB‎1C1C．‎ 所以AD⊥CC1.‎ ‎(2)延长B‎1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.‎ 因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.‎ 因为A‎1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B‎1C1，‎ 所以C1N⊥侧面BB‎1C1C．‎ 因为C1N⊂截面MBC1，‎ 所以截面MBC1⊥侧面BB‎1C1C．‎ 空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．‎ ‎4．如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP.‎ ‎(1)证明：BP⊥平面DCP；‎ ‎(2)若BC＝2，当三棱锥DBPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，‎ 平面ABCD∩平面BPC＝BC，所以DC⊥平面BPC．‎ 因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC．‎ 因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC．‎ 又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP.‎ ‎(2)当点P位于的中点时，△BCP的面积最大，‎ 三棱锥DBPC的体积也最大．‎ 因为BC＝2，所以PE＝1，‎ 所以△BEP的面积为×1×1＝，‎ 所以三棱锥DBEP的体积为××2＝.‎ 因为BP⊥平面DCP，所以BP⊥DP，‎ DP＝＝，‎ ‎△BDP的面积为××＝.‎ 设E到平面BDP的距离为d，‎ 由于VDBEP＝VEBDP，‎ 则××d＝，得d＝，‎ 即E到平面BDP的距离为.‎ 空间中的角的求解 ‎【例5】　如图，在三棱锥SABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2，SC＝1.‎ ‎(1)画出二面角SABC的平面角，并求它的度数；‎ ‎(2)求三棱锥SABC的体积．‎ ‎[解]　(1)取AB中点D，连接SD，CD，‎ 因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，‎ 所以SD⊥AB，CD⊥AB，‎ 且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，‎ 所以∠SDC是二面角SABC的平面角．‎ 在直角三角形SDA中，‎ SD＝＝＝1，‎ 在直角三角形CDA中，‎ CD＝＝＝1，‎ 所以SD＝CD＝SC＝1，‎ 所以△SDC是等边三角形，‎ 所以∠SDC＝60°.‎ ‎(2)法一：因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC，又AB⊂平面ABC，‎ 所以平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC∩平面SDC＝CD，‎ 在平面SDC内作SO⊥DC于O，则SO⊥平面ABC，‎ 即SO是三棱锥SABC的高．‎ 在等边△SDC中，SO＝，‎ 所以三棱锥SABC的体积 VSABC＝S△ABC·SO＝××2×1×＝.‎ 法二：因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，‎ 所以AB⊥平面SDC．‎ 在等边△SDC中，S△SDC＝SD2＝，‎ 所以三棱锥SABC的体积 VSABC＝VASDC＋VBSDC＝S△SDC·AB＝××2＝.‎ ‎1．两条异面直线所成的角 ‎(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．‎ ‎(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．‎ ‎2．直线和平面所成的角 当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．‎ ‎3．求解二面角的平面角的步骤 一找(寻找现成的二面角的平面角)；‎ 二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；‎ 三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．‎ ‎5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ A　[如图，分别取BC，CD，AD，BD的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，MP，PQ，MQ，‎ 则MN∥BD，NP∥AC，所以∠PNM即为异面直线AC和BD所成的角(或其补角)．‎ 又由题意得PQ⊥MQ，PQ＝AB，MQ＝CD．‎ 设AB＝BC＝CD＝2，则PM＝.‎ 又MN＝BD＝，NP＝AC＝，‎ 所以△PNM为等边三角形，所以∠PNM＝60°，‎ 所以异面直线AC与BD所成角为60°，其余弦值为.]‎ ‎[培优层·素养升华]‎ ‎【例题】　如图，直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2‎ ‎，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎(2)求点C到平面C1DE的距离．‎ ‎[思路探究]　(1)连接B‎1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．‎ ‎[解]　(1)证明：如图所示，连接B‎1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B‎1C，且ME＝B‎1C．‎ 又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．‎ 由题设知A1B1DC，可得B‎1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．‎ 又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.‎ 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C‎1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C‎1C＝4，所以C1E＝，故CH＝.‎ 从而点C到平面C1DE的距离为.‎ 本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.‎ 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．‎ ‎(1)求证：PE⊥BC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎(3)求证：EF∥平面PCD．‎ ‎[证明]　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．‎ 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．‎ ‎(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．‎ 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB．‎ 所以平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.‎ 因为F，G分别为PB，PC的中点，‎ 所以FG∥BC，FG＝BC．‎ 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，‎ 所以DE∥BC，DE＝BC．‎ 所以DE∥FG，DE＝FG.‎ 所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.‎ 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．‎