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- 2021-06-16 发布
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2.1.2 演绎推理
明目标、知重点
1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了
解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
1.演绎推理
含义 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理
特点 由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式 常用格式
大前提 已知的一般原理 M 是 P
小前提 所研究的特殊情况 S 是 M
结论 根据一般原理,对特殊情况做出的判断 S 是 P
情境导学]
小明是一名高二年级的学生,17 岁,迷恋上网络,沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花
钱不够用,便向亲戚邻人要钱,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强行向路人抢
取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢了 50 元,这应该不会很严重吧?如果你是法官,
你会如何判决呢?小明到底是不是犯罪呢?
探究点一 演绎推理与三段论
思考 1 分析下面几个推理,找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电;
(2)一切奇数都不能被 2 整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被 2 整除;
(3)三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,因此 tan α是周期函数;
(4)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+
∠B=180°.
答 问题中的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理
叫演绎推理.
思考 2 演绎推理有什么特点?
答 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理,结论是蕴含于前提之
中的个别、特殊事实.
思考 3 演绎推理的结论一定正确吗?
答 在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确
的,结论必定是正确的.
思考 4 演绎推理一般是怎样的模式?
答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:
(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原
理,对特殊情况做出的判断.
例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
(2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的底角,则∠A=∠B;
(3)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.
解 (1)平行四边形的对角线互相平分, 大前提
菱形是平行四边形, 小前提
菱形的对角线互相平分. 结论
(2)等腰三角形的两底角相等, 大前提
∠A,∠B 是等腰三角形的底角, 小前提
∠A=∠B. 结论
(3)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为等差数列, 大前提
通项公式为 an=2n+3 时,若 n≥2,
则 an-an-1=2n+3-2(n-1)+3]=2(常数), 小前提
通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列. 结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一
个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊
情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前
提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式:
(1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形;
(2)函数 y=2x+5 的图象是一条直线;
(3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形, 大前提
△ABC 三边的长依次为 3,4,5,而 32+42=52, 小前提
△ABC 是直角三角形. 结论
(2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 大前提
函数 y=2x+5 是一次函数, 小前提
函数 y=2x+5 的图象是一条直线. 结论
(3)三角函数是周期函数, 大前提
y=sin x(x∈R)是三角函数, 小前提
y=sin x(x∈R)是周期函数. 结论
探究点二 三段论推理中的易错点
例 2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:
(1)整数是自然数, 大前提
-3 是整数, 小前提
-3 是自然数. 结论
(2)常函数的导函数为 0, 大前提
函数 f(x)的导函数为 0, 小前提
f(x)为常函数. 结论
(3)无限不循环小数是无理数, 大前提
1
3
(0.333 33…)是无限不循环小数, 小前提
1
3
是无理数. 结论
解 (1)结论是错误的,原因是大前提错误.自然数是非负整数.
(2)结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为 0”,
因此演绎推理的结论也应为“导函数为 0”.
(3)结论是错误的,原因是小前提错误.1
3
(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.
反思与感悟 演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全
部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.
跟踪训练 2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:
(1)因为中国的大学分布在中国各地,大前提
北京大学是中国的大学,小前提
所以北京大学分布在中国各地.结论
(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提
所以菱形是正多边形.结论
解 (1)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大学”,它表示中国的各所大学,而小前提
中 M 虽然也是“中国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理
形式错误.(2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长都相等,内角也都相等的凸
多边形才是正多边形.
探究点三 三段论的应用
例 3 如图,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 是垂足,求证:AB 的中点 M 到点
D,E 的距离相等.
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提
在△ABD 中,AD⊥BC,即∠ADB=90°, 小前提
所以△ABD 是直角三角形. 结论
同理,△AEB 也是直角三角形.
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线, 小前提
所以 DM=1
2
AB. 结论
同理 EM=1
2
AB.
所以 DM=EM.
反思与感悟 应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要
引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得
出正确的结论.如果大前提是显然的,则可以省略.
跟踪训练 3 已知:在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,如图所示,求证:
EF∥平面 BCD.
证明 三角形的中位线平行于底边,大前提
点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,小前提
所以 EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行,大前提
EF⊄ 平面 BCD,BD⊂平面 BCD,EF∥BD,小前提
EF∥平面 BCD.结论
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B
=180°
B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人
C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
D.在数列{an}中 a1=1,an=1
2
an-1+ 1
an-1 (n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A 是演绎推理,B、D 是归纳推理,C 是类比推理.
2.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),又 y=log1
3
x 是对数函数(小前提),所以 y
=log1
3
x 是增函数(结论).”下列说法正确的是( )
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
答案 A
解析 y=logax 是增函数错误.故大前提错.
3.把“函数 y=x2+x+1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:____________;
小前提:____________;
结论:____________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y=x2+x+1 是二次函数 函数 y=x2+x+1 的图
象是一条抛物线
4.如图,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证:∠ACD>BCD.
证明:在△ABC 中,
因为 CD⊥AB,AC>BC, ①
所以 AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)
答案 ③
解析 由 AD>BD,得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边对大角”,
小前提是“AD>BD”,而 AD 与 BD 不在同一三角形中,故③错误.
呈重点、现规律]
1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;只要前提和推理形式正确,
通过演绎推理得到的结论一定正确.
2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中
常省略三段论的大前提.
一、基础过关
1.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③ B.②③④
C.②④⑤ D.①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.
2.下列说法不正确的是( )
A.演绎推理是由一般到特殊的推理
B.赋值法是演绎推理
C.三段论推理的一个前提是肯定判断,结论为否定判断,则另一前提是否定判断
D.归纳推理的结论都不可靠
答案 D
3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin (x2+1)是奇函数.以
上推理( )
A.结论正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.全不正确
答案 C
解析 由于函数 f(x)=sin (x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.
4.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析:
大前提:矩形都是对角线相等的四边形;
小前提:四边形 ABCD 是矩形;
结论:四边形 ABCD 的对角线相等.
5.给出演绎推理的“三段论”:
直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线;(大前提)
已知直线 b∥平面α,直线 a⊂平面α;(小前提)
则直线 b∥直线 a.(结论)
那么这个推理是( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
答案 A
6.下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A.5 和 2 2可以比较大小
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
C.东升高中高二年级有 15 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班都
超过 50 人
D.预测股票走势图
答案 A
7.用三段论证明:直角三角形两锐角之和为 90°.
证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提),而直角三角形是三角形(小前提),所以直
角三角形内角之和为 180°(结论).
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B,则有∠A+∠B+90°=180°,因为等量减等量差相
等(大前提),(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°(小前提),所以∠A+∠B=90°(结论).
二、能力提升
8.在求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是当 a有意义时,a≥0;小前提
是 log2x-2有意义;结论是__________________.
答案 y= log2x-2的定义域是 4,+∞)
解析 由大前提知 log2x-2≥0,解得 x≥4.
9.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若 m∥n,n⊂α,则 m∥α;
②若 l⊥α,m⊥β且 l∥m,则α∥β;
③若 m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则 n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ①中,m 还可能在平面α内,①错误;②正确;③中,m 与 n 相交时才成立,③错误;
④正确.故选 B.
10.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的
凸集,给出平面上 4 个点集的图形如图(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号).
答案 ②③
11.用演绎推理证明函数 f(x)=|sin x|是周期函数.
证明 大前提:若函数 y=f(x)对于定义域内的任意一个 x 值满足 f(x+T)=f(x)(T 为非零常
数),则它为周期函数,T 为它的一个周期.
小前提:f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x).
结论:函数 f(x)=|sin x|是周期函数.
12.设 a>0,f(x)=ex
a
+a
ex是 R 上的偶函数,求 a 的值.
解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴(a-1
a
)(ex-1
ex)=0 对于一切 x∈R 恒成立,
由此得 a-1
a
=0,
即 a2=1.又 a>0,
∴a=1.
三、探究与拓展
13.设 f(x)=ax+a-x
2
,g(x)=ax-a-x
2
(其中 a>0 且 a≠1).
(1)5=2+3 请你推测 g(5)能否用 f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;
(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
解 (1)由 f(3)g(2)+g(3)f(2)=a3+a-3
2
×a2-a-2
2
+a3-a-3
2
×a2+a-2
2
=a5-a-5
2
又 g(5)=a5-a-5
2
,因此,
g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).
(2)由 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
即 g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
于是推测 g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).
证明:因为 f(x)=ax+a-x
2
,g(x)=ax-a-x
2
,(大前提)
所以 g(x+y)=ax+y-a-x+y
2
,
g(y)=ay-a-y
2
,f(y)=ay+a-y
2
,(小前提及结论)
所以 f(x)g(y)+g(x)f(y)=ax+a-x
2
×ay-a-y
2
+ax-a-x
2
×ay+a-y
2
=ax+y-a- x+y
2
=g(x+y).
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