高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（安徽卷·理科）（附答案，完全word版） 11页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第 Ⅱ卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘 贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3． 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 24πS R ( ) ( ) ( )P A B P A P B   其中 R 表示球的半径 如果事件 A B， 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  球的体积公式 34 π3V R 如果随机变量 ( , ),B n p  那么 其中 R 表示球的半径 (1 )D np p   第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． （1）．复数 3 2(1 )i i  （ ） A．2 B．－2 C． 2i D． 2i （2）．集合  | lg , 1A y R y x x    ，  2, 1,1,2B    则下列结论正确的是（ ） A．  2, 1A B    B． ( ) ( ,0)RC A B   C． (0, )A B   D． ( ) 2, 1RC A B    （3）．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2,4)AB  ， (1,3)AC  ,则 AB  （ ） A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） （4）．已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A． , ,m n m n 若 则‖ ‖ ‖ B． , ,      若 则 ‖ C． , ,m m   若 则‖ ‖ ‖ D． , ,m n m n  若 则 ‖ （5）．将函数 sin(2 )3y x   的图象按向量 平移后所得的图象关于点 ( ,0)12  中心对称，则向量  的坐标可能为（ ） A． ( ,0)12  B． ( ,0)6  C． ( ,0)12  D． ( ,0)6  （6）．设 8 8 0 1 8(1 ) ,x a a x a x     则 0, 1 8, ,a a a 中奇数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （7）． 0a  是方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负数根的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （8）．若过点 (4,0)A 的直线l 与曲线 2 2( 2) 1x y   有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A．[ 3, 3] B． ( 3, 3) C． 3 3[ , ]3 3  D． 3 3( , )3 3  （9）．在同一平面直角坐标系中，函数 ( )y g x 的图象与 xy e 的图象关于直线 y x 对称。而函数 ( )y f x 的图象与 ( )y g x 的图象关于 y 轴对称，若 ( ) 1f m   ，则 m 的值是（ ） A． e B． 1 e  C． e D． 1 e （10）．设两个正态分布 2 1 1 1( )( 0)N    ， 和 2 2 2 2( )( 0)N    ， 的密度函数图像如图所示。则有 （ ） A． 1 2 1 2,     B． 1 2 1 2,     C． 1 2 1 2,     D． 1 2 1 2,     （11）．若函数 ( ), ( )f x g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 ( ) ( ) xf x g x e  ，则有（ ） A． (2) (3) (0)f f g  B． (0) (3) (2)g f f  C． (2) (0) (3)f g f  D． (0) (2) (3)g f f  （12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其 他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A． 2 2 8 3C A B． 2 6 8 6C A C． 2 2 8 6C A D． 2 2 8 5C A 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数 2 2 1 ( ) log ( 1) x f x x     的定义域为 ． （14）在数列{ }na 在中， 54 2na n  ， 2 1 2 na a a an bn    ， *n N ,其中 ,a b 为常数，则 lim n n n nn a b a b   的值是 （15）若 A 为不等式组 0 0 2 x y y x       表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直线 x y a  扫过 A 中的那部分区域的面积为 （16）已知 , , ,A B C D 在同一个球面上, ,AB BCD 平面 ,BC CD 若 6,AB  2 13,AC  8AD  ,则 ,B C 两点间的球面距离是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x       （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[ , ]12 2   上的值域 （18）．（本小题满分 12 分 如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， 4ABC   , OA ABCD 底面 , 2OA  , M 为OA 的中点， N 为 BC 的中点 （Ⅰ）证明：直线 MN OCD平面‖ ； （Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。 (19)．（本小题满分 12 分） 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳，各 株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 3E  ，标准差 为 6 2 。 （Ⅰ）求 n,p 的值并写出 的分布列； （Ⅱ）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 N M A B D C O （20）．（本小题满分 12 分） 设函数 1( ) ( 0 1)lnf x x xx x   且 （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）已知 1 2 ax x 对任意 (0,1)x 成立，求实数 a 的取值范围。 （21）．（本小题满分 13 分） 设数列 na 满足 3 * 0 10, 1 , ,n na a ca c c N c     其中 为实数 （Ⅰ）证明： [0,1]na  对任意 *n N 成立的充分必要条件是 [0,1]c ； （Ⅱ）设 10 3c  ，证明： 1 *1 (3 ) ,n na c n N   ; （Ⅲ）设 10 3c  ，证明： 2 2 2 * 1 2 21 ,1 3na a a n n Nc       （22）．（本小题满分 13 分） 设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     过点 ( 2,1)M ，且着焦点为 1( 2,0)F  （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 ,A B 时，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB      ，证明：点 Q 总在某定直线上 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科）参考答案 一. 选择题 1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C 二. 13: [3, ) 14: 1 15: 7 4 16: 4 3  三. 解答题 17 解：（1） ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x       1 3cos2 sin 2 (sin cos )(sin cos )2 2x x x x x x     2 21 3cos2 sin 2 sin cos2 2x x x x    1 3cos2 sin 2 cos22 2x x x   sin(2 )6x   2T 2    周期 由 2 ( ), ( )6 2 2 3 kx k k Z x k Z         得 函数图象的对称轴方程为 ( )3x k k Z   （2） 5[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x          因为 ( ) sin(2 )6f x x   在区间[ , ]12 3   上单调递增，在区间[ , ]3 2   上单调递减， 所以 当 3x  时， ( )f x 去最大值 1 又 3 1( ) ( )12 2 2 2f f      ，当 12x   时， ( )f x 取最小值 3 2  所以 函数 ( )f x 在区间[ , ]12 2   上的值域为 3[ ,1]2  Q E N M A B D C O P 18 方法一（综合法） （1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE ME CD ME CD ，‖AB,AB‖ ‖ 又 ,NE OC MNE OCD 平面 平面‖ ‖ MN OCD 平面‖ （2） CD ‖AB, MDC∴ 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角） 作 ,AP CD P 于 连接 MP  平面A BC D ，∵OA ∴CD MP 2,4 2ADP  ∵ ∴DP = 2 2 2MD MA AD   ， 1cos ,2 3 DPMDP MDC MDPMD       ∴ 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3  （3） AB 平面∵ ∴‖ OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作 AQ OP 于点 Q， , , ,AP CD OA CD CD OAP AQ CD   平面∵ ∴ ∴ 又 ,AQ OP AQ OCD  平面∵ ∴ ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 2 2 2 2 2 1 3 24 1 2 2OP OD DP OA AD DP        ∵ ， 2 2AP DP  22 22 33 2 2 OA APAQ OP    ∴ ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 方法二(向量法) 作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 , ,x y z 轴建立坐标系 2 2 2 2 2(0,0,0), (1,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0,2), (0, 0,1), (1 , ,0)2 2 2 4 4A B P D O M N  , (1) 2 2 2 2 2(1 , , 1), (0, , 2), ( , , 2)4 4 2 2 2MN OP OD          设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD     即 2 2 02 2 2 2 02 2 y z x y z        取 2z  ,解得 (0,4, 2)n  2 2(1 , , 1) (0,4, 2) 04 4MN n      ∵ MN OCD 平面‖ (2)设 AB 与 MD 所成的角为 , 2 2(1,0,0), ( , , 1)2 2AB MD    ∵ 1cos ,2 3 AB MD AB MD          ∴ ∴ , AB 与 MD 所成角的大小为 3  (3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB  在向量 (0,4, 2)n  上的投影的绝对值, 由 (1,0, 2)OB   , 得 2 3 OB n d n     .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 19 (1)由 2 33,( ) (1 ) ,2E np np p      得 11 2p  ,从而 16, 2n p   的分布列为  0 1 2 3 4 5 6 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 (2)记”需要补种沙柳”为事件 A, 则 ( ) ( 3),P A P   得 1 6 15 20 21( ) ,64 32P A     或 15 6 1 21( ) 1 ( 3) 1 64 32P A P         20 解 (1) ' 2 2 ln 1( ) ,ln xf x x x   若 ' ( ) 0,f x  则 1x e  列表如下 x 1(0, )e 1 e 1( ,1)e (1, ) ' ( )f x + 0 - - ( )f x 单调增 极大值 1( )f e 单调减 单调减 (2) 在 1 2 ax x 两边取对数, 得 1 ln 2 lna xx  ,由于 0 1,x  所以 1 ln 2 ln a x x  (1) 由(1)的结果可知,当 (0,1)x 时, 1( ) ( )f x f ee    , 为使(1)式对所有 (0,1)x 成立,当且仅当 ln 2 a e  ,即 ln 2a e  21 解 (1) 必要性 ： 1 20, 1a a c  ∵ ∴ ， 又 2 [0,1], 0 1 1a c   ∵ ∴ ，即 [0,1]c 充分性 ：设 [0,1]c ，对 *n N 用数学归纳法证明 [0,1]na  当 1n  时， 1 0 [0,1]a   .假设 [0,1]( 1)ka k  则 3 1 1 1 1k ka ca c c c        ，且 3 1 1 1 0k ka ca c c       1 [0,1]ka  ∴ ，由数学归纳法知 [0,1]na  对所有 *n N 成立 (2) 设 10 3c  ，当 1n  时， 1 0a  ，结论成立 当 2n  时， 3 2 1 1 1 11 , 1 (1 )(1 )n n n n n na ca c a c a a a          ∵ ∴ 10 3C ∵ ,由（1）知 1 [0,1]na   ，所以 2 1 11 3n na a    且 11 0na   11 3 (1 )n na c a   ∴ 2 1 1 1 2 11 3 (1 ) (3 ) (1 ) (3 ) (1 ) (3 )n n n n na c a c a c a c           ∴ 1 *1 (3 ) ( )n na c n N  ∴ (3) 设 10 3c  ，当 1n  时， 2 1 20 2 1 3a c     ，结论成立 当 2n  时，由（2）知 11 (3 ) 0n na c    2 1 2 1 2( 1) 1(1 (3 ) ) 1 2(3 ) (3 ) 1 2(3 )n n n n na c c c c         ∴ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2[3 (3 ) (3 ) ]n n na a a a a n c c c              ∴ 2(1 (3 ) ) 21 11 3 1 3 ncn nc c        22 解 (1)由题意： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 c a b c a b          ，解得 2 24, 2a b  ，所求椭圆方程为 2 2 14 2 x y  (2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , ),( , )x y x y x y 。 由题设知 , , ,AP PB AQ QB     均不为零，记 AP AQ PB QB        ,则 0  且 1  又 A，P，B，Q 四点共线，从而 ,AP PB AQ QB       于是 1 24 1 x x    ， 1 21 1 y y    1 2 1 x xx     ， 1 2 1 y yy     从而 2 2 2 1 2 2 41 x x x    ，（1） 2 2 2 1 2 21 y y y    ，（2） 又点 A、B 在椭圆 C 上，即 2 2 1 12 4, (3)x y   2 2 2 22 4, (4)x y   （1）+（2）×2 并结合（3），（4）得 4 2 4s y  即点 ( , )Q x y 总在定直线 2 2 0x y   上 方法二 设点 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )Q x y A x y B x y ，由题设， , , ,PA PB AQ QB     均不为零。 且 PA PB AQ QB      又 , , ,P A Q B 四点共线，可设 , ( 0, 1)PA AQ PB BQ          ,于是 1 1 4 1,1 1 x yx y        （1） 2 2 4 1,1 1 x yx y        （2） 由于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 在椭圆 C 上，将（1），（2）分别代入 C 的方程 2 22 4,x y  整理得 2 2 2( 2 4) 4(2 2) 14 0x y x y        （3） 2 2 2( 2 4) 4(2 2) 14 0x y x y        (4) (4)－(3) 得 8(2 2) 0x y    0, 2 2 0x y    ∵ ∴ 即点 ( , )Q x y 总在定直线 2 2 0x y   上