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- 2021-06-16 发布
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第二讲 参数方程
三、直线的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1.直线 x=1+tcos α,
y=-2+tsin α (α为参数,0≤α<π)必过点( )
A.(1,-2) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(2,-1)
解析:由参数方程可知该直线是过定点(1,-2),倾斜角为α的
直线.
答案:A
2.对于参数方程 x=1-tcos 30°,
y=2+tsin 30° 和 x=1+tcos 30°,
y=2-tsin 30°, 下列结
论正确的是( )
A.是倾斜角为 30°的两平行直线
B.是倾斜角为 150°的两重合直线
C.是两条垂直相交于点(1,2)的直线
D.是两条不垂直相交于点(1,2)的直线
解 析 : 因 为 参 数 方 程 x=1-tcos 30°,
y=2+tsin 30°, 可 化 为 标 准 形 式
x=1+tcos 150°,
y=2+tsin 150°, 所以其倾斜角为 150°.
同理,参数方程 x=1+tcos 30°,
y=2-tsin 30°,
可化为标准形式 x=1+(-t)cos 150°,
y=2+(-t)sin 150°,
所以其倾斜角也为 150°.
又因为两直线都过点(1,2),故两直线重合.
答案:B
3.若直线 x=1-2t,
y=2+3t (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数
k=( )
A.8
3 B.-6
C.6 D.-8
3
解析:由直线的参数方程可得直线的斜率为-3
2
,
由题意得直线 4x+ky=1 的斜率为-4
k
,
故-3
2
× -4
k =-1,解得 k=-6.
答案:B
4.直线 x=tcos θ,
y=tsin θ (t 是参数,0≤θ<π)与圆 x=4+2cos α,
y=2sin α (α
是参数)相切,则θ=( )
A.π
3 B.2π
3
C.π
6
或5π
6 D.π
3
或2π
3
解析:直线为 y=xtan θ,圆为(x-4)2+y2=4,因为直线与圆相
切,所以圆心(4,0)到直线 xtan θ-y=0 的距离等于半径 2,即
|4tan θ|
tan2θ+1
=2,解得 tan θ=± 3
2
,易知θ=π
6
或5π
6 .
答案:C
5.若圆的方程为 x=-1+2cos θ,
y=3+2sin θ (θ为参数),直线的方程为
x=2t-1,
y=6t-1 (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )
A.相交过圆心 B.相交而不过圆心
C.相切 D.相离
解析:圆的圆心坐标是(-1,3),半径是 2,直线的普通方程是
3x-y+2=0,圆心到直线的距离是|-3-3+2|
10
=2 10
5
= 8
5<2,故
直线与圆相交而不过圆心.
答案:B
二、填空题
6.已知直线的参数方程是
x=-1-tsin π
6
,
y=2+tcos π
6
(t 为参数),则直线
的倾斜角的大小是________.
解析:将直线的参数方程化简,得
x=-1-1
2t,
y=2+ 3
2 t
(t 为参数).消
去参数 t,得直线的普通方程为 y=- 3x- 3+2,因为直线的斜率
是- 3,故倾斜角的大小是2π
3 .
答案:2π
3
[来源:Z。xx。k.Com]
7.已知直线 l:x=2t,
y=1+4t(t 为参数),圆 C 的极坐标方程为ρ=2cos
θ,则圆心 C 到直线 l 的距离为________.[来源:学科网 ZXXK]
解析:直线 l 的普通方程为 2x-y+1=0,圆ρ=2cos θ的直角坐
标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0).
故圆心 C 到直线 l 的距离为|2-0+1|
22+12
=3 5
5 .
答案:3 5
5
[来源:学科网]
8.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l: x=t,
y=t-a(t 为参数)过椭
圆 C: x=3cos φ,
y=2sin φ (φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线 l: x=t,
y=t-a,消去参数 t 后得 y=x-a.
椭圆 C: x=3cos φ,
y=2sin φ, 消去参数φ后得x2
9
+y2
4
=1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3.
答案:3[来源:学科网 ZXXK]
三、解答题
9 . 已 知 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x=1+4cos θ,
y=2+4sin θ (θ为参数),直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为π
3.
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程;
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.
解:(1)曲线 C:(x-1)2+(y-2)2=16,
直线 l:
x=3+1
2t,
y=5+ 3
2 t
(t 为参数).
(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得
t2+(2+3 3)t-3=0,
设 t1,t2 是方程的两个根,则 t1t2=-3,
所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3.
10.极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-1=0 的直线与 x 轴的交点为
P,与椭圆 x=2cos θ,
y=sin θ (θ为参数)交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|.
解:直线ρcos θ+ρsin θ-1=0 的斜率为-1,令θ=0,得ρ=1,
所以直线与 x 轴交于点(1,0)[如令θ=π,得ρ=-1,将点的极坐标
化为直角坐标还是(1,0)],
所以直线的参数方程为
x=1- 2
2 t,
y= 2
2 t
(t 为参数).①
椭圆的普通方程为 x2+4y2=4,②
将①代入②中,得 5t2-2 2t-6=0,③
因为Δ=128>0,根据参数 t 的几何意义知
|PA|·|PB|=|t1·t2|=6
5.
B 级 能力提升
1.一条直线的参数方程是
x=1+1
2t,
y=-5+ 3
2 t
(t 为参数),另一条直线
的方程是 x-y-2 3=0,则两条直线的交点与点(1,-5)之间的距离
是( )
A.2 3 B.4 3 C. 3
2 D. 3
4
解析:由题意可知,点(1,-5)在直线
x=1+1
2t,
y=-5+ 3
2 t
(t 为参数)上.将
参数方程代入 x-y-2 3=0,得 6+
1
2
- 3
2 t=2 3,所以 t=2 3-6
1
2
- 3
2
=4 3,根据 t 的几何意义,得两直线的交点与点(1,-5)之间的距
离是 4 3.
答案:B
2.已知直线 C1 的参数方程 x=t-1,
y=2t+1 (t 为参数),曲线 C2 的极
坐标方程为ρ=4sin θ,设曲线 C1,C2 相交于 A,B 两点,则|AB|=
________.
解析:曲线 C2 的极坐标方程可变为ρ2=4ρsin θ,化为直角坐标
方程为 x2+y2-4y=0,
将 C1: x=t-1,
y=2t+1,代入,得 5t2-6t-2=0,
则 t1 + t2 = 6
5
, t1t2 = - 2
5
, 则 |AB| = 1+22 |t1 - t2| =
5· (t1+t2)2-4t1t2= 5×
6
5
2+4×2
5
=2 95
5 .
答案:2 95
5
3.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标
系,已知曲线 C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点 P(-2, -4)的直线 l
的参数方程为:
x=-2+ 2
2 t,
y=-4+ 2
2 t
(t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别交于
M,N 两点.
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;[来源:Zxxk.Com]
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.
解:(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ=2aρcos θ,化为直角坐标
方程为 y2=2ax,
直线
x=-2+ 2
2 t,
y=-4+ 2
2 t
(t 为参数)化为普通方程为 y=x-2.
(2)将
x=-2+ 2
2 t,
y=-4+ 2
2 t
代入 y2=2ax 得
t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0.
则有 t1+t2=2 2(4+a),t 1t2=8(4+a),
因为|MN|2=|PM|·|PN|.
所以(t1-t2)2=t1·t2,
即(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,(t1+t2)2-5t1t2=0,
故 8(4+a)2-40(4+a)=0,
解得 a=1 或 a=-4(舍 去).
故所求 a 的值为 1.
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