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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-4练习:第二讲三直线的参数方程word版含解析

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第二讲 参数方程 三、直线的参数方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1.直线 x=1+tcos α, y=-2+tsin α (α为参数,0≤α<π)必过点( ) A.(1,-2) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(2,-1) 解析:由参数方程可知该直线是过定点(1,-2),倾斜角为α的 直线. 答案:A 2.对于参数方程 x=1-tcos 30°, y=2+tsin 30° 和 x=1+tcos 30°, y=2-tsin 30°, 下列结 论正确的是( ) A.是倾斜角为 30°的两平行直线 B.是倾斜角为 150°的两重合直线 C.是两条垂直相交于点(1,2)的直线 D.是两条不垂直相交于点(1,2)的直线 解 析 : 因 为 参 数 方 程 x=1-tcos 30°, y=2+tsin 30°, 可 化 为 标 准 形 式 x=1+tcos 150°, y=2+tsin 150°, 所以其倾斜角为 150°. 同理,参数方程 x=1+tcos 30°, y=2-tsin 30°, 可化为标准形式 x=1+(-t)cos 150°, y=2+(-t)sin 150°, 所以其倾斜角也为 150°. 又因为两直线都过点(1,2),故两直线重合. 答案:B 3.若直线 x=1-2t, y=2+3t (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=( ) A.8 3 B.-6 C.6 D.-8 3 解析:由直线的参数方程可得直线的斜率为-3 2 , 由题意得直线 4x+ky=1 的斜率为-4 k , 故-3 2 × -4 k =-1,解得 k=-6. 答案:B 4.直线 x=tcos θ, y=tsin θ (t 是参数,0≤θ<π)与圆 x=4+2cos α, y=2sin α (α 是参数)相切,则θ=( ) A.π 3 B.2π 3 C.π 6 或5π 6 D.π 3 或2π 3 解析:直线为 y=xtan θ,圆为(x-4)2+y2=4,因为直线与圆相 切,所以圆心(4,0)到直线 xtan θ-y=0 的距离等于半径 2,即 |4tan θ| tan2θ+1 =2,解得 tan θ=± 3 2 ,易知θ=π 6 或5π 6 . 答案:C 5.若圆的方程为 x=-1+2cos θ, y=3+2sin θ (θ为参数),直线的方程为 x=2t-1, y=6t-1 (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( ) A.相交过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离 解析:圆的圆心坐标是(-1,3),半径是 2,直线的普通方程是 3x-y+2=0,圆心到直线的距离是|-3-3+2| 10 =2 10 5 = 8 5<2,故 直线与圆相交而不过圆心. 答案:B 二、填空题 6.已知直线的参数方程是 x=-1-tsin π 6 , y=2+tcos π 6 (t 为参数),则直线 的倾斜角的大小是________. 解析:将直线的参数方程化简,得 x=-1-1 2t, y=2+ 3 2 t (t 为参数).消 去参数 t,得直线的普通方程为 y=- 3x- 3+2,因为直线的斜率 是- 3,故倾斜角的大小是2π 3 . 答案:2π 3 [来源:Z。xx。k.Com] 7.已知直线 l:x=2t, y=1+4t(t 为参数),圆 C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,则圆心 C 到直线 l 的距离为________.[来源:学科网 ZXXK] 解析:直线 l 的普通方程为 2x-y+1=0,圆ρ=2cos θ的直角坐 标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0). 故圆心 C 到直线 l 的距离为|2-0+1| 22+12 =3 5 5 . 答案:3 5 5 [来源:学科网] 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l: x=t, y=t-a(t 为参数)过椭 圆 C: x=3cos φ, y=2sin φ (φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. 解析:直线 l: x=t, y=t-a,消去参数 t 后得 y=x-a. 椭圆 C: x=3cos φ, y=2sin φ, 消去参数φ后得x2 9 +y2 4 =1. 又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3. 答案:3[来源:学科网 ZXXK] 三、解答题 9 . 已 知 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x=1+4cos θ, y=2+4sin θ (θ为参数),直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为π 3. (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值. 解:(1)曲线 C:(x-1)2+(y-2)2=16, 直线 l: x=3+1 2t, y=5+ 3 2 t (t 为参数). (2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得 t2+(2+3 3)t-3=0, 设 t1,t2 是方程的两个根,则 t1t2=-3, 所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3. 10.极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-1=0 的直线与 x 轴的交点为 P,与椭圆 x=2cos θ, y=sin θ (θ为参数)交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|. 解:直线ρcos θ+ρsin θ-1=0 的斜率为-1,令θ=0,得ρ=1, 所以直线与 x 轴交于点(1,0)[如令θ=π,得ρ=-1,将点的极坐标 化为直角坐标还是(1,0)], 所以直线的参数方程为 x=1- 2 2 t, y= 2 2 t (t 为参数).① 椭圆的普通方程为 x2+4y2=4,② 将①代入②中,得 5t2-2 2t-6=0,③ 因为Δ=128>0,根据参数 t 的几何意义知 |PA|·|PB|=|t1·t2|=6 5. B 级 能力提升 1.一条直线的参数方程是 x=1+1 2t, y=-5+ 3 2 t (t 为参数),另一条直线 的方程是 x-y-2 3=0,则两条直线的交点与点(1,-5)之间的距离 是( ) A.2 3 B.4 3 C. 3 2 D. 3 4 解析:由题意可知,点(1,-5)在直线 x=1+1 2t, y=-5+ 3 2 t (t 为参数)上.将 参数方程代入 x-y-2 3=0,得 6+ 1 2 - 3 2 t=2 3,所以 t=2 3-6 1 2 - 3 2 =4 3,根据 t 的几何意义,得两直线的交点与点(1,-5)之间的距 离是 4 3. 答案:B 2.已知直线 C1 的参数方程 x=t-1, y=2t+1 (t 为参数),曲线 C2 的极 坐标方程为ρ=4sin θ,设曲线 C1,C2 相交于 A,B 两点,则|AB|= ________. 解析:曲线 C2 的极坐标方程可变为ρ2=4ρsin θ,化为直角坐标 方程为 x2+y2-4y=0, 将 C1: x=t-1, y=2t+1,代入,得 5t2-6t-2=0, 则 t1 + t2 = 6 5 , t1t2 = - 2 5 , 则 |AB| = 1+22 |t1 - t2| = 5· (t1+t2)2-4t1t2= 5× 6 5 2+4×2 5 =2 95 5 . 答案:2 95 5 3.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标 系,已知曲线 C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点 P(-2, -4)的直线 l 的参数方程为: x=-2+ 2 2 t, y=-4+ 2 2 t (t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;[来源:Zxxk.Com] (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 解:(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ=2aρcos θ,化为直角坐标 方程为 y2=2ax, 直线 x=-2+ 2 2 t, y=-4+ 2 2 t (t 为参数)化为普通方程为 y=x-2. (2)将 x=-2+ 2 2 t, y=-4+ 2 2 t 代入 y2=2ax 得 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0. 则有 t1+t2=2 2(4+a),t 1t2=8(4+a), 因为|MN|2=|PM|·|PN|. 所以(t1-t2)2=t1·t2, 即(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,(t1+t2)2-5t1t2=0, 故 8(4+a)2-40(4+a)=0, 解得 a=1 或 a=-4(舍 去). 故所求 a 的值为 1.