【数学】2020届一轮复习北师大版离散型随机变量的方差课时作业 5页

知识点一 方差的求法 ‎1.已知X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 则D(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，‎ ‎∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.‎ ‎2．随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝______.‎ 答案　 解析　由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.‎ 知识点二 方差的性质 ‎3.D(ξ－D(ξ))的值为(　　)‎ A．0 B．1 C．D(ξ) D．2D(ξ)‎ 答案　C 解析　D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，‎ ‎∴D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)．‎ ‎4．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)‎ A．6,2.4 B．2,2.4 C．2,5.6 D．6,5.6‎ 答案　B 解析　∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.‎ 又X＋Y＝8，∴Y＝8－X.‎ ‎∴E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，‎ D(Y)＝D(－X＋8)＝D(X)＝2.4.‎ 知识点三 两点分布与二项分布的方差 ‎5.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)‎ A．m B．2m(1－m)‎ C．m(m－1) D．m(1－m)‎ 答案　D 解析　随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－m m ‎∴E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m.‎ ‎∴D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．‎ ‎6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.‎ 答案　 解析　由题意知取到次品的概率为，‎ ‎∴X～B，‎ ‎∴D(X)＝3××＝.‎ 一、选择题 ‎1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计 (　　)‎ A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案　B 解析　∵D(X甲)＞D(X乙)‎ ‎∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．‎ ‎2．若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝1.1，则(　　)‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ x P ‎0.2‎ p ‎0.3‎ A．D(ξ)＝2 B．D(ξ)＝0.51‎ C．D(ξ)＝0.5 D．D(ξ)＝0.49‎ 答案　D 解析　因为0.2＋p＋0.3＝1，所以p＝0.5.‎ 又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，所以x＝2，‎ 所以D(ξ)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.故选D.‎ ‎3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)‎ A．3·2－2 B．2－4‎ C．3·2－10 D．2－8‎ 答案　C 解析　E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3‎ ‎∴P＝，n＝12，则P(X＝1)＝C·1·11＝3×2－10.‎ ‎4．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　)‎ A．E(X1)＝12，D(X1)＝1‎ B．E(X1)＝7，D(X1)＝1‎ C．E(X1)＝12，D(X1)＝2‎ D．E(X1)＝7，D(X1)＝2‎ 答案　D 解析　由于E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，结合已知可得E(X1)＝7，D(X1)＝2.故选D.‎ ‎5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．无法计算 答案　A 解析　由分布列中，概率和为1，则a＋＝1，a＝.‎ ‎∵E(ξ)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.‎ ‎∴D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.‎ ‎∴n＝2时，D(ξ)取最小值0.‎ 二、填空题 ‎6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.‎ 答案　　 解析　∵E(X)＝0，D(X)＝1，由离散型随机变量X的分布列的性质知：‎ 计算得出a＝，b＝.‎ ‎7．设d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.‎ 答案　30d2‎ 解析　E(ξ)＝x10，‎ D(ξ)＝(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.‎ ‎8．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________．‎ 答案　48‎ 解析　设小王选对个数为X，得分η＝5X，则X～B(12,0.8)，‎ D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92‎ D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48.‎ 三、解答题 ‎9．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.‎ ‎(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；‎ ‎(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的均值与方差．‎ 解　(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，‎ 且ξ～B，‎ ‎∴E(ξ)＝6×＝2，‎ D(ξ)＝6××＝.‎ ‎(2)由已知η＝30ξ，‎ ‎∴E(η)＝30E(ξ)＝60，‎ D(η)＝900D(ξ)＝1200.‎ ‎10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：‎ ‎(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；‎ ‎(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和均值．‎ 解　(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎