高中数学人教a版必修4课时达标检测（十九）平面向量基本定理 word版含解析 4页

课时达标检测（十九）平面向量基本定理 一、选择题 1．如果 e1，e2 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量 a，使 a＝λe1＋μ e2 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2 与λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋ μ2e2)； ④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．② 答案：B 2．已知 e1，e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组 基底的是( ) A．e1，e1＋e2 B．e1－2e2，e2－2e1 C．e1－2e2,4e2－2e1 D．e1＋e2，e1－e2 答案：C 3．如图，在矩形 ABCD 中，若 BC  ＝5e1， DC  ＝3e2，则OC  ＝( ) A.1 2(5e1＋3e2) B.1 2(5e1－3e2) C.1 2(3e2－5e1) D.1 2(5e2－3e1) 答案：A 4．AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线，且 AD  ＝a， BE  ＝b，则 BC  ＝ ( ) A.4 3a＋2 3b B.2 3a＋4 3b C.2 3a－2 3b D．－2 3a＋2 3b 答案：B 5．A，B，O 是平面内不共线的三个定点，且 OA  ＝a， OB  ＝b，点 P 关于点 A 的对称 点为 Q，点 Q 关于点 B 的对称点为 R，则 PR―→等于( ) A．a－b B．2(b－a) C．2(a－b) D．b－a 答案：B 二、填空题 6．已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且|b|＝2|a|，则向 量 a 与 c 的夹角为________． 答案：90° 7．如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点 H，M 为 AH 的 中点．若 AM  ＝λ AB  ＋μ BC  ，则λ＋μ＝________. 答案：2 3 8．设 e1，e2 是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2 可以表示 为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1＋e2＝________. 答案：2 3a－1 3b 三、解答题 9．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若 a，b 共线，则存在λ∈R，使 a＝λb， 则 e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由 e1，e2 不共线，得 λ＝1， 3λ＝－2 ⇒ λ＝1， λ＝－2 3. ∴λ不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底． (2)设 c＝ma＋nb(m，n∈R)，则 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴ m＋n＝3， －2m＋3n＝－1 ⇒ m＝2， n＝1. ∴c＝2a＋b. (3)由 4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴ λ＋μ＝4， －2λ＋3μ＝－3 ⇒ λ＝3， μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为 3 和 1. 10．如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F 分别是 DC、AB 的中点， 设 AD  ＝a， AB  ＝b，试用 a，b 表示 DC  ， EF  ， FC  . 解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F 分别是 DC、AB 的中点， ∴ FC  ＝ AD  ＝a， DC  ＝ AF  ＝1 2 AB  ＝1 2b. EF  ＝ ED  ＋ DA  ＋ AF  ＝－1 2 DC  － AD  ＋1 2 AB  ＝－1 2 ×1 2b－a＋1 2b＝1 4b－a. 11.如图，平面内有三个向量 OA  ， OB  ， OC  ，其中 OA  与 OB  的夹角为 120°，OA  与OC  的夹角为 30°，且|OA  |＝|OB  |＝1， |OC  |＝2 3，若OC  ＝λOA  ＋μOB  (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 解：如图，以 OA，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形 ODCE，则 OC  ＝OD  ＋OE  . 在 Rt△OCD 中， ∵|OC  |＝2 3， ∠COD＝30°，∠OCD＝90°， ∴|OD  |＝4，|CD  |＝2， 故OD  ＝4OA  ，OE  ＝2OB  ， 即λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6.