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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修1-2学业分层测评4演绎推理word版含解析

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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为( ) A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电 B.猜想数列 1 1×2 , 1 2×3 , 1 3×4 ,…的通项公式为 an= 1 nn+1(n∈N+) C.半径为 r 的圆的面积 S=πr2,则单位圆的面积 S=π D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐 标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 【解析】 A,B 为归纳推理,D 为类比推理,C 为演绎推理. 【答案】 C 2.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b. 证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B,∴a<b,画线部分是演绎推 理的( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 【解析】 结合三段论的特征可知,该证明过程省略了大前提“在同一个三 角形中大角对大边”,因此画线部分是演绎推理的小前提. 【答案】 B 3.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),而 y=log1 3x 是对数函数(小 前提),所以 y=log1 3x 是增函数(结论).”上面推理错误的是( ) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 【解析】 大前提 y=logax 是增函数错误,当 0BC,CD 是 AB 边上的高,求证:∠ACD> ∠BCD”. 图 217 证明:在△ABC 中, 因为 CD⊥AB,AC>BC,① 所以 AD>BD,② 于是∠ACD>∠BCD.③ 则在上面证明的过程中错误的是________(填序号). 【解析】 由 AD>BD,得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一 三角形中,大边对大角”,小前提是“AD>BD”,而 AD 与 BD 不在同一三角形中, 故③错误. 【答案】 ③ 三、解答题 9.用三段论证明通项公式为 an=cqn(c,q 为常数,且 cq≠0)的数列{an}是 等比数列. 【证明】 设 an+1,an 是数列中任意相邻两项,则从第二项起,后项与前项 的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提), 因为an+1 an =cqn+1 cqn =q(常数)(小前提), 所以{an}是等比数列.(结论) 10.已知 a>0 且函数 f(x)=2x a +a 2x 是 R 上的偶函数,求 a 的值. 【解】 由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)对 x∈R 恒成立,即2-x a + a 2-x = 2x a +a 2x ,所以 1 a·2x +a·2x=2x a + a 2x ,整理得 a-1 a (2x-2-x)=0,必有 a-1 a =0.又因 为 a>0,所以 a=1. [能力提升] 1.(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程:若函数 f(x)在(a,b) 内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)>0 恒成立.因为 f(x)=x3 在(-1,1)内可 导且单调递增,所以在(-1,1)内,f′(x)=3x2>0 恒成立.以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.结论正确 D.推理形式错误 【解析】 f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内,f′(x)≥0 恒成立, 故大前提错误,选 A. 【答案】 A 2.设⊕是 R 内的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a⊕b∈A,则称 A 对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等 于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 【解析】 A 错,因为自然数集对减法不封闭;B 错,因为整数集对除法不 封闭;C 对,因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对 加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭;D 错,因为无理数集对加、 减、乘、除法都不封闭. 【答案】 C 3.(2016·西城高二检测)若 f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且 f(1)=2,则f2 f1 + f4 f3 +…+f2 018 f2 017 =________. 【解析】 ∵f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*)(大前提). 令 b=1,则fa+1 fa =f(1)=2(小前提). ∴f2 f1 =f4 f3 =…=f2 018 f2 017 =2(结论), ∴原式=2+2+…+ 21 009 个 =2 018. 【答案】 2 018 4 . 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 = a≠ 1 4 , 且 an + 1 = 1 2an,n 为偶数, an+1 4 ,n 为奇数. 记 bn=a2n-1-1 4 ,n=1,2,3,…. (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论. 【解】 (1)a2=a1+1 4 =a+1 4 , a3=1 2a2=1 2a+1 8. (2)∵a4=a3+1 4 =1 2a+3 8 , ∴a5=1 2a4=1 4a+ 3 16. ∴b1=a1-1 4 =a-1 4 ≠0, b2=a3-1 4 =1 2 a-1 4 , b3=a5-1 4 =1 4 a-1 4 . 猜想{bn}是公比为1 2 的等比数列. 证明如下: ∵bn+1=a2n+1-1 4 =1 2 a2n-1+1 4 -1 4 =1 2 a2n-1-1 4 =1 2bn(n∈N*), ∴{bn}是首项为 a-1 4 ,公比为1 2 的等比数列.