南涧县 2016——2017 年下学期 3 月份月考 高二数学（理）试卷 10页

南涧县 2016——2017 年下学期 3 月份月考 高二数学（理）试卷 班级 姓名 学号 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 注:所有题目在答题卡上做答 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1.已知集合  2| log 0M x x  ，  2| 4N x x  ，则M N  （ ） A． 1,2 B． 0,2 C． 1,1 D．  0,2 2．已知命题 p：∃x0∈R，x02+1＜0，则（ ） A．￢p：∀x∈R，x2+1＞0 B．￢p：∃x∈R，x2+1＞0 C．￢p：∀x∈R，x2+1≥0 D．￢p：∃x∈R，x2+1≥0 3. 已知等比数列 na 的各项都为正数, 且 3 5 4 1 2 a , a ,a 成等差数列, 则 3 5 4 6 a a a a   的值是（ ） A. 5 1 2  B. 5 1 2  C. 3 5 2  D. 3 5 2  4. 已知 Rt ABC ，点D为斜边BC的中点， 6 3AB   ， 6AC   ， 1 2 AE ED   ，则 AE EB   等 于（ ） A. 14 B. 9 C. 9 D.14 5. 设实数 2log 3a  ， 1 3 1log 2 b  ， 0 1 sin c xdx   ，则（ ） A． a b c  B． a c b  C.b a c  D．b c a  6. 若实数 x y， 满足条件 1 2 3 0 x x y y x        ，则 1 yz x   的最小值为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 7. 执行如下程序，输出 S的值为（ ） A． 1007 2015 B． 1008 2017 C. 2016 2017 D． 2015 4032 8.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某 几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几 何体的体积为 8 3 , 则该几何体的俯视图可以是( ) 9. 已知函数 ( ) sin( )( 0, ) 2 f x x        的最小正周期是 ，若其图象向右平移 3  个单位后 得到的函数为奇函数，则函数 ( )y f x 的图象关于（ ） A．点 ,0 12       对称 B．直线 12 x   对称 C．点 5 ,0 12       对称 D．直线 5 12 x   对称 10.已知双曲线C 2 2 2: 1 4 x y a   的一条渐近线方程为 2 3 0 x y , 1F , 2F 分别是双曲线C的左，右焦 点, 点 P在双曲线C上, 且 1 7PF  , 则 2PF 等于（ ） A．1 B.13 C.4或10 D.1或13 11.设抛物线 2 4x y 的焦点为F ，准线为 l， P为抛物线上的一点，且 PA l ， A为垂足，若直 线 AF 的倾斜角为135，则 PF （ ） A．1 B． 2 C.2 D． 2 2 12. 已知圆 2 2( 2) 4C x y  ： , 直线 1 : 3l y x ， 2 : 1l y kx  ，若 1 2,l l 被圆C所截得的弦的长 度之比为1: 2，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 1 2 C. 1 D. 3 3 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题。（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13. 若 2cos( ) 2 3    ，则 cos( 2 )   ________. 14．函数 y＝x3＋ax2＋bx＋a2在 x＝1 处有极值 10，则 a＝________. 15． 已知菱形 ABCD的中心为O， 3 BAD    ， 1AB  ，则    OA OB AD AB       等 于 ． 16.已知函数   1 2 2 , 0, 1 log , 0, x x f x x x       若   2f a , 则实数 a的取值范围是 . 三、解答题。（要求写出计算或证明的步骤，本大题 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随 机抽取 12 名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下： 根据学生体质健康标准，成绩不低于 76 的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选 3 人进行体质健康测试，求 至少有 1人成绩是“优良”的概率； 18.（本小题满分 12 分)设锐角 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 2 b 是 2 sin cosa A C与 sin 2c A的等差中项. （Ⅰ）求角 A的大小； （Ⅱ）若 2a  ，求 ABC 面积的最大值. 19.（本小题满分 12 分)已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 2 1n na S  （ *n N ）． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若 (2 1)n nb n a   ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 20．（本小题满分 12 分）在如图所示的六面体中，面 ABCD是边长为 2的正方形，面 ABEF 是直 角梯形， 90FAB   ， //AF BE， 2 4BE AF  . （Ⅰ）求证： AC //平面DEF ； （Ⅱ）若二面角 E AB D  为60，求直线CE和平面DEF 所成 角的正弦值. 21.（本小题满分 12 分)已知圆O： 2 2 1x y  过椭圆C： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的短轴端点，P， Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段 PQ长度的最大值为 3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点 (0, )t 作圆O的一条切线交椭圆C于M ， N 两点，求 OMN 的面积的最大值． 22. （本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ( ln ) xef x a x x x    ． （1）当 1a  时，试求 ( )f x 在 (1, (1))f 处的切线方程； （2）当 0a  时，试求 ( )f x 的单调区间； （3）若 ( )f x 在 (0,1)内有极值，试求 a的取值范围 南涧 2016——2017 学年春季学期 3 月份月考 高二理数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1.A 解析:集合    2| log 0 | 1M x x x x    ，    2| 4 | 2 2N x x x x      ，因此 M N  1,2 .故选 A . 3. A 解析：依题意，有 3 4 5a a a  ，即 2 3 4 1 1 1a q a q a q  ， 化简，得： 2 1 0q q   ，解得： 1 5 2 q   ， 3 5 4 6 a a a a   ＝ 2 4 2 1 1 3 5 3 1 1 1a q a q q a q a q q q      ＝ 1 q ＝ 5 1 2  5. A 解析: 2log 3 1a   ， 1 3 3 1 1log log 3 2 2 b    ，且 3 3log 2 log 3 1b    ，易求得 0 1 cos | c x   1 1 cos cos0 2     ，故 a b c  ，故选 A . 7. B 解析:依题意可得 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 3 3 5 2015 2017 2 3 3 5 2015 2017 S                  … … 1008 2017  ，故选 B . 8.该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P-ABCD，如下图所示， 该几何体的俯视图为 D。 10. 依题意，有： 2 2 3a  ，所以， a＝3，因为 1 7PF  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分 得分 A C A D A B B D D D C B 所以，当点 P 在双曲线的左支时，有｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，解得：｜PF2｜＝13 当点 P 在双曲线的右支时，有｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，解得：｜PF2｜＝1，故选 D。 11.解析: PAF 中， PF PA ，抛物线焦点到准线的距离 2p  ，故 2 sin 45p AF   .所以 2 2AF  ，又 45PAF PFA    ，所以 cos 45 2PA AF   ，故选C . 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题。（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13. 5 9  ； 14. 答案：4 解析：∵y′＝3x2 ＋2ax＋b，∴ 1＋a＋b＋a2 ＝10， 3＋2a＋b＝0， ⇒ a＝－3， b＝3， 或 a＝4， b＝－11. 当 a＝－3， b＝3 时，y′＝3x2 －6x＋3＝3(x－1) 2 ≥0，函数无极值， 故 a＝4，b＝－11. 15. 3 2  解析:       31 3 cos 3 cos 6 2 OA OB AD AB BA AC ACB                   . 16．  1, , 8, 2 综上所述 的取值范围是a       解析： 10 ,2 2, 1 1, 0,当 时 恒成立aa a a      2 2 20 , 1 log 2, log 3 log 1 18 0 2 当 时 或 或 a a a a a a            三、解答题：要求详细写出计算或证明的步骤。（本大题 6 小题，共 70 分） 17.【答案】（1）众数为 86，中位数为 86；（2） 63 64 ； 【解析】（1）由茎叶图写出所有数据，并按从小到大顺序排列，可看出众数与中位数；（2）从数据 看出成绩是“优良”的概率为 3 4 ，因此求抽 3 人中至少有 1 人优良的概率可求先其对立事件概率， 即 3人都不是优良的概率为 33 1(1 ) 4 64   ，由此可得结论；. 18.  0,B  ， sin 0B ∴ . 1sin 2 A ∴ .又 A 为锐角， 6 A  ∴ . （Ⅱ） 2 2 2 2 22 cos 3 2 3a b c b A b c bc bc bc        ，  4 4 2 3 2 3 bc     ∴ ，当且仅当 6 2b c   时，取等号. ABC∴ 的面积  1 1 1sin 4 2 3 2 3 2 2 2 S bc A       .即 ABC 面积的最大值为 2 3 （当且仅当 6 2b c   时，等号成立）. 19、(本小题满分 12 分)解：（Ⅰ）当 1n  时， 1 1 12 1 2 1a S a    ，解得 1 1a   ． 当 2n  时， 2 1n na S  ， 1 12 1n na S   ，两式相减得 1 2n n na a a  ，化简得 1n na a   ，所以 数列 na 是首项为 1 ，公比为 1 的等比数列，可得 ( 1)nna   ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 (2 1) ( 1)nnb n    ， 当 n为偶数时， 1 2n nb b   ， 2 2n nT n   ； 当 n为奇数时， 1n  为偶数， 1 1 ( 1) (2 1)n n nT T b n n n         ． 所以数列 nb 的前 n项和 ( 1)nnT n   ． 20. 证明：（1）法一：连接 ,AC BD相交于点O，取DE的中点为G ,连接 ,FG OG . ABCD 是正方形， O 是 BD的中点， 1// , 2 OG BE OG BE  , 又因为 1// , 2 AF BE AF BE ,所以 //OG AF 且OG AF ， 所以四边形 AOGF 是平行四边形，································································3 分 //AC FG ，又因为 FG 平面DEF , AC 平面DEF //AC 平面DEF ······················································································5 分 法二：延长 ,BA EF 相交于点G ,连接GD . 因为 1// , 2 AF BE AF BE ， A 是 BG的中点，所以 //DC GA且DC GA ， 所以四边形 ACDG是平行四边形，······························································ //AC GD ，又因为GD 平面DEF , AC 平面DEF //AC 平面DEF ······················································································5 分 （2） ABCD 是正方形，ABEF是直角梯形， 90FAB  ， ,DA AB FA AB   AD AF A  , AB 平面 AFD ,同理可得 AB 平面 EBC . 又 AB  平面 ABCD，所以平面 AFD 平面 ABCD , 又因为二面角 E AB D  为60 ， 所以 60FAD EBC     , 2 4BE AF  , 2BC  ,由余弦定理得 2 3EC  , 所以 EC BC ,又因为 AB 平面 EBC ， EC AB  ,所以 EC 平面 ABCD， ··············································································································· 7 分 法一：以 C 为坐标原点， CB 为 x 轴、 CD 为 y 轴、 CE 为 z 轴建立空间直角坐标系.则 (0,0,0), (0, 2,0), (0,0, 2 3), (1, 2, 3)C D E F ,·················································8 分 所 以 (0,0, 2 3), (1,0, 3), (1, 2, 3)CE DF EF       , 设 平 面 DEF 的 一 个 法 向 量 为 ( , , )n x y z  ，则 0 0 n DF n EF           即 3 0 2 3 0 x z x y z        令 3z  ，则 3 3 x y     ， 所以 ( 3,3, 3)n    ··················································································· 11 分 设直线CE和平面DEF 所成角为 ， 则 6 7sin cos , 72 3 21 CE n         ················································· 12 分 法二：取 AD的中点为M , BC的中点为N ，连接 ,FM MN .以M 为坐标原点，MD为 x轴、MN 为 y轴、MF为 z轴建立空间直角坐标系. 则 (1, 2,0), (1, 2, 2 3), (0,0, 3), (1,0,0)C E F D ················································ 8 分 以 (0,0, 2 3), ( 1,0, 3), (1, 2, 3)CE DF FE       , 设平面DEF 的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 0 0 n DF n FE           即 3 0 2 3 0 x z x y z         令 3z  ，则 3 3 x y     ， 所以 (3, 3, 3)n    ··················································································· 11 分 设直线CE和平面DEF 所成角为 ，则 6 7sin cos , 72 3 21 CE n         20. 21、(本小题满分 12 分)解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴ 1b  ，又∵线段 PQ长度的最大 值为 3，∴ 1 3a   ，即 2a  ，∴椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 y x  ． （Ⅱ）由题意可设切线MN 的方程为 y kx t  ，即 0kx y t   ，则 2 | | 1 1 t k   ，得 2 2 1k t  ．① 联立得方程组 2 2 , 1 4 y kx t y x       ， 消去 y整理得 2 2 2( 4) 2 4 0k x ktx t     ． 其中 2 2 2(2 ) 4( 4)( 4)kt k t     2 216 16 64 48 0t k      ， 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，则 1 2 2 2 4 ktx x k     ， 2 1 2 2 4 4 tx x k    ， 则 2 2 2 2 16 16 64| | 1 4 t kMN k k        ．② 将①代入②得 2 4 3 | || | 3 tMN t   ，∴ 2 1 2 3 | |1 | | 2 3OMN tS MN t      ， 而 2 2 3 | | 2 3 133 | | | | t t t t     ，等号成立当且仅当 3| | | | t t  ，即 3t   ． 综上可知： max( ) 1OMNS  ． 22.【答案】（1） 1y e  ；（2）单调增区间为 (1, ) ，单调减区间为 (0,1)；（3） ( , )e  ． 【解析】．试题解析：（1）当 1a  时， 2 ( 1) 1'( ) 1 xe xf x x x     ， '(1) 0f  ， (1) 1f e  方程为 1y e  ； （2）0 2 2 ( 1) 1 ( )( 1)'( ) (1 ) x xe x e ax xf x a x x x        ，当 0a  时，对于 (0, )x   ， 0xe ax  恒成立，所以 '( ) 0f x  ， 1x  ； '( ) 0f x  ，0 1x  ，所以单调增区间为 (1, ) ，单调减区间 为 (0,1)； （3）若 ( )f x 在 (0,1)内有极值，则 '( ) 0f x  在 (0,1)x 内有解，令 2 ( )( 1)'( ) 0 xe ax xf x x     ， 0xe ax  ， xea x  ， 设 ( ) xeg x x  ， (0,1)x ， 所 以 ( 1)'( ) xe xg x x   ， 当 (0,1)x 时， '( ) 0g x  恒成立，所以 ( )g x 单调递减，又因为 (1)g e ，又 当 0x 时， ( )g x ，即 ( )g x 在 (0,1)x 上的值域为 ( , )e  ， 所以当 a e 时， 2 ( )( 1)'( ) 0 xe ax xf x x     有解. 设 ( ) xH x e ax  ，则 '( ) xH x e a  ， (0,1)x ，所以 ( )H x 在 (0,1)x 单调递减， 因为 (0) 1 0H   ， (1) 0H e a   ， 所以 ( ) 0H x  在 (0,1)x 有唯一解 0x ， 所以有： 所以当 a e 时， ( )f x 在 (0,1)内有极值且唯一，当 a e 时，当 (0,1)x 时， '( ) 0f x  恒成立， ( )f x 单调递增，不成立，综上， a的取值范围为 ( , )e  ．