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- 2021-06-16 发布
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集合简易逻辑
(第一至第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集为实数集R,集合A={x|x2-3x<0},B={x|log2x>0},则(RA)∩B= ( )
A.(-∞,0]∪ (1,+∞) B.(0,1]
C.[3,+∞) D.∅
【解析】选C.集合A={x|x2-3x<0}={x|x(x-3)<0}={x|00}={x|log2x>log21}
={x|x>1}.
所以RA={x|x≤0或x≥3},
所以(RA)∩B={x|x≥3}.
2.已知函数f(x)=x2+|ax+1|,命题p:∃a0∈R,f(x)为偶函数,则p为 ( )
A.∃a0∈R,f(x)为奇函数
B.∀a∈R,f(x)为奇函数
C.∃a0∈R,f(x)不为偶函数
D.∀a∈R,f(x)不为偶函数
【解析】选D.因为特称命题的否定是全称命题,
所以,命题p:∃a0∈R,f(x)为偶函数,则p为:∀a∈R,f(x)不为偶函数.
3.已知a,b为实数,命题甲:ab>b2,命题乙:<<0,则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ab>b2,即b(b-a)<0知b与b-a异号,
由<<0知a0,所以00,所以1log23>0,即log25>|log0.53|>0,
又由函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
则有b1}.
f(x)=
所以f′(x)=
所以当x>1时,f′(x)>0,
当x<-2时,f′(x)>0,
当-2x1>1时,使
0时,g(x)=f(x)-x=<0,
当x<0时,g(x)=f(x)-x=>0,
函数g(x)=f(x)-x在R上只有一个零点,所以④不正确.
11.函数f(x)=2mx3-3nx2+10(m>0,n>0)有且仅有两个不同的零点,则 5(lg m)2
+9(lg n)2的最小值是 ( )
A.6 B. C. D.1
【解析】选B.因为f(x)=2mx3-3nx2+10(m>0,n>0)所以f′(x)=6mx2-6nx=6x(mx-n),所以由f′(x)=0得x=0或x=.
因为f(x)=2mx3-3nx2+10(m>0,n>0)有且仅有两个不同的零点,又f(0)=10,所以f=0,即2m·-3n·+10=0,整理得n3=10m2,两边取对数得3lg n=1+
2lg m,所以lg n=+lg m,所以5lg2m+9lg2n=5lg2m+9=9lg2m+4lg m
+1=9+,所以当lg m=-时,5lg2m+9lg2n有最小值.
12.(2018·杭州模拟)已知函数f(x)=若函数h(x)=f(x)
-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.∪(1,+∞)
C.∪[1,+∞)
D.
【解题指南】函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根,可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,通过图象观察,结合斜率公式,即可得到m的范围.
【解析】选A.函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根,
可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,
分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,
A(0,-2),B(3,1),C(4,0),
则g(x)的图象介于直线AB和AC之间,
则kAC1,则f(x)的单调减区间为________.
【解析】f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),
由a>1知,当x<2时,f′(x)>0,
故f(x)在区间(-∞,2)上单调递增;
当22a时,f′(x)>0,
故f(x)在区间(2a,+∞)上单调递增.
综上,当a>1时,
f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增,
在区间(2,2a)上单调递减.
答案:(2,2a)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a>0且a≠1,设p:函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减, q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.如果p∨q真, p∧q假,求实数a的取值范围. 导学号
【解析】对于命题p:当01时,函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递增,所以如果p为真命题,那么01.
对于命题q:如果函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,
那么Δ=(2a-3)2-4>0,即4a2-12a+5>0⇔a<,或a>.
又因为a>0且a≠1,所以如果q为真命题,
那么0.
如果q为假命题,那么≤a<1或1.
所以a的取值范围是∪.
18.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1) 导学号
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若f(m)<-2,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为x>0时, f(x)=log2(x+1),所以当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=log2(-x+1),
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)
所以-f(x)=log2(-x+1),
即f(x)=-log2(-x+1),又f(0)=0,
所以f(x)=
(2)因为x>0时f(x)=log2(x+1)>0,f(0)=0,所以f(m)<-2⇔-log2(1-m)<-2,所以log2(1-m)>2,所以1-m>4,所以m<-3.
19.(12分)函数f(x)=log3(x2+2x-8)的定义域为A,函数g(x)=x2+(m+1)x+m. 导学号
(1)若m=-4时,g(x)≤0的解集为B,求A∩B.
(2)若存在 x∈使得不等式g(x)≤-1成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由x2+2x-8>0,
解得:x∈(-∞,-4)∪(2,+∞),
则函数f(x)=log3(x2+2x-8)的定义域A=(-∞,-4)∪(2,+∞),
若m=-4,g(x)=x2-3x-4,由x2-3x-4≤0,解得:x∈[-1,4],则B=[-1,4],
所以A∩B=(2,4].
(2)存在x∈使得不等式x2+(m+1)x+m≤-1成立,
即存在x∈使得不等式-m≥成立,所以-m≥,
因为=x+1+-1≥1,
当且仅当x+1=1,即x=0时取得等号,
所以-m≥1,解得:m≤-1.
20.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.
导学号
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
所以切线的方程为y+6=13(x-2),
即y=13x-32.
(2)设切点坐标为(x0,y0),
则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,
y0=+x0-16,
所以直线l的方程为
y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又因为直线l过原点(0,0),
所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.
所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
21.(12分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. 导学号
(1)求a和b的值.
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,
解得a=0,b=-3.
将a=0,b=-3代入检验知符合题意.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.
因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是x=1或x=-2.
当x<-2时,g′(x)<0;当-20,故x=-2是g(x)的极小值点.
当-21时,g′(x)>0,故x=1不是g(x)的极值点.
所以g(x)的极小值点为x=-2,无极大值点.
22.(12分)设函数f(x)=ex,g(x)=ln x. 导学号
(1)证明:g(x)≥2-.
(2)若对所有的x≥0,都有f(x)-f(-x)≥ax,求实数a的取值范围.
【解析】(1)令F(x)=g(x)-2+=ln x-2+,所以F′(x)=-=,由F′(x)>0⇔x>e.
所以F(x)在(0,e)上递减,在[e,+∞)上递增,
所以F(x)min=F(e)=0,所以F(x)≥0,即g(x)≥2-成立.
(2)记h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,所以h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
h′(x)=ex+e-x-a,令φ(x)=ex+e-x-a,
则φ′(x)=ex-e-x≥0(x≥0),
所以h′(x)在[0,+∞)上递增,又h′(0)=2-a,
所以当a≤2时,h′(x)≥0,所以h(x)在[0,+∞)上递增,所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立,
当a>2时,因为h′(x)在[0,+∞)上递增,又h′(x)min=2-a<0,所以必存在t∈(0,
+∞)时,使得h′(t)=0,则x∈(0,t)时,h′(t)<0,
所以∃x∈(0,t)时,h(t)2舍去,
所以a≤2.
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