【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：第七章测评 5页

第七章测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2019北京高考)已知复数z=2+i,则z=(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C.3 D.5‎ 解析∵z=2+i,∴=2-i.‎ ‎∴z=(2+i)(2-i)=5.故选D.‎ 答案D ‎2.若复数z满足z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析z=,∴i,对应的点为,位于第四象限.‎ 答案D ‎3.(2019全国Ⅰ高考)设z=,则|z|=(　　)‎ A.2 B. C. D.1‎ 解析∵z=,∴z=i,‎ ‎∴|z|=.故选C.‎ 答案C ‎4.若复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是(　　)‎ A.- B.± C.±i D.i 解析依题意设z=1+bi(b∈R),则=2,解得b=±,即复数z的虚部是±.‎ 答案B ‎5.若复数z的共轭复数是,且z+=6,z=10,则z=(　　)‎ A.1±3i B.3±i C.3+i D.3-i 解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,‎ 所以解得即z=3±i.‎ 答案B ‎6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1z2为(　　)‎ A.i B.i C.i D.i 解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.‎ 答案A ‎7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R.则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.‎ 答案A ‎8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)‎ A.3+4i B.4+3i C.+3i D.3+i 解析设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是 解得因为13-2x≥0,故x≤,‎ 所以x=不符合要求,故z=4+3i.‎ 答案B 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)‎ ‎9.在复平面内,复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则(　　)‎ A.复数z=1+i B.||=‎ C.复数z对应的点位于第一象限 D.复数的实部是-1‎ 解析复数=-1-i对应的点的坐标为(-1,-1).‎ ‎∵复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,∴复数z对应的点的坐标为(-1,1),‎ ‎∴复数z=-1+i.故A,C均错.‎ ‎=-1-i,||=的实部是-1,B,D正确.‎ 答案BD ‎10.(2020广东六校联考)已知复数z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列说法正确的是(　　)‎ A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数 C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于 解析当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;‎ 若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;‎ 由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;‎ 由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无实数解,‎ 即|z|不可以等于,D错误.‎ 答案BC ‎11.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是(　　)‎ A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.|z|=‎ C.z的虚部是i D.z的实部是1‎ 解析实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,∴解得x=y=1,‎ ‎∴z=x+yi=1+i.‎ 对于A,z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.‎ 对于B,|z|=,故B正确.‎ 对于C,z的虚部是1,故C错误.‎ 对于D,z的实部是1,故D正确.‎ 答案ABD ‎12.设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z),当k=1时,θ=,当k=2时,θ=.‎ 答案AC 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2020湖北武汉检测)若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　　. ‎ 解析因为=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.‎ 答案2‎ ‎14.6=　　　　　　　　. ‎ 解析原式=cos+isin ‎=3i.‎ 答案i ‎15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　　. ‎ 解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为.‎ 答案1　‎ ‎16.设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i,若z2<0,则实数a的值为　　　　. ‎ 解析由z2<0知z一定为纯虚数,‎ 所以得解得a=-1.‎ 答案-1‎ 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.‎ 解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,‎ ‎∴-1-3i+a+bi=0,‎ 即解得 ‎∴z=-4+3i,‎ ‎∴=3+4i.‎ ‎18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为 ‎(1)实数?‎ ‎(2)虚数?‎ ‎(3)纯虚数?‎ 解(1)若z为实数,可得解得m=2.‎ ‎∴当m=2时,z为实数.‎ ‎(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,‎ 解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.‎ ‎(3)z为纯虚数,则解得m=-3.‎ ‎∴当m=-3时,z为纯虚数.‎ ‎19.(12分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.‎ ‎(1)求复数z和|z|;‎ ‎(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.‎ 解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2.‎ 因为i为实数,‎ 所以=0,解得a=4.‎ 所以z=4-2i,|z|=2.‎ ‎(2)z1=4++2-i对应的点在第四象限,‎ 则解得-2