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- 2021-06-16 发布
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阶段质量检测(一) B 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.如图,AD∥EF∥BC,GH∥AB,则图中与△BOC 相似的三角形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析:选 C 根据相似三角形的预备定理可得
△OEF∽△OAD,△CHG∽△CBO,△OAD∽△OBC.
2.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 中点,AE⊥AD 交 CB
延长线于点 E,则下列结论正确的是( )
A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
解析:选 C ∵D 为 BC 的中点,∠CAB=90°,
∴AD=BD,∴∠DAB=∠DBA,
∴∠C=∠BAE,又∵∠E=∠E,
∴△BAE∽△ACE.
3.已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、
PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不变,设
BP=x,EF=y 那么下列结论中正确的是( )
A.y 是 x 的增函数
B.y 是 x 的减函数
C.y 随 x 的增大先增加后减小
D.无论 x 怎样变化,y 为常数
解析:选 D 连接 AR,∵E、F 分别为 AP、PR 的中点,
∴EF 是△APR 的中位线,
∴EF=1
2AR,
∵当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,
点 R 在 CD 上固定不变,故选 D.
4.如图,G 点是△ABC 的重心,GE∥BC,那么 AB 是 BE 的( )
A.3 倍 B.6 倍
C.2 倍 D.4 倍
解析:选 A ∵G 是△ABC 的重心,
∴GC=2DG,∵GE∥BC,∴BE=2ED.
∴BE=2
3BD,即 BD=3
2BE.
∵AB=2BD,∴AB=2×3
2BE=3BE.
5.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3.则△ACD 与△CBD
的相似比为( )
A.2∶3 B.4∶9 C. 6∶3 D.不确定
解析:选 C 如右图,在 Rt△ACB 中,CD⊥AB,由射影定理得 CD2
=AD·BD,
即CD
AD
=BD
CD.
又∵∠ADC=∠BDC=90°,
∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD=2∶3,令 AD=2x,
BD=3x(x>0).∴CD2=6x2,∴CD= 6x.
易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD
CD
= 2x
6x
= 6
3 .
6.如右图,过梯形 ABCD 的腰 AD 的中点 E 的直线 EF 平行于底边,交
BC 于 F,若 AE 的长是 BF 的长的2
3
,则 FC 是 ED 的________倍.( )
A.2
3 B.3
2 C.1 D.1
2
解析:选 B ∵AB∥EF∥DC,且 AE=DE,
∴BF=FC.又∵AE=2
3BF,
∴FC=3
2ED.
7.如图,在正三角形 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上,且AD
AC
=1
3
,
AE=BE,则有( )
A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
解析:选 B 直接法,注意到∠A=∠C=60°,可设 AD=a,
则 AC=3a,而 AB=AC=BC=3a.
所以 AE=BE=3
2a.所以AD
AE
= a
3
2a
=2
3.
又CD
BC
=2a
3a
=2
3
,所以AD
AE
=CD
CB
,
∠A=∠C=60°,
故△AED∽△CBD,选 B.
8.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
解析:选 B 连接梯形各边中点,可得平行四边形,由于等腰梯形的对角线相等,所
以平行四边形的各边相等,由此可以判定此四边形必定为菱形.
9.如图,锐角三角形 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O,图中与△ODB
相似的三角形的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 C ∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴△ODB,△ABE,△ADC,△OCE 都是直角三角形.
又∵∠DBO=∠EBA,∠A=∠A,∠DOB=∠EOC,
∴△ODB∽△AEB∽△ADC,△ODB∽△OEC,
∴与△ODB 相似的三角形有 3 个.
10.如图所示,将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转
60°至 AB′C′D′的位置,则这两个正方形重叠部分的面积为( )
A.4 B.2- 3
C.2+ 3 D. 3-1
解析:选 B 如图,过 B′点作 EF∥BC,
分别交 AB、DC 于 E、F,连接 AK.
由基本图形知,
Rt△KFB′∽Rt△B′EA.
在 Rt△AB′E 中,
∠EAB′=60°,AB′=1,
∴B′E= 3
2 .
∴KB′
AB′
=B′F
AE
=1-B′E
AE
=
1- 3
2
1
2
=2- 3
∴KB′=2- 3.
又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK,
∴SAB′KD=2S△AB′K=AB′×KB′=2- 3.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中的横线上)
11.如图,在▱ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM=________,DN
=________.
解析:BM
AD
=BE
ED
=1
2
,
∴BM=1
2BC=12,DN
BM
=DF
FB
=1
2
,
∴DN=1
2BM=6.
答案:12 6
12.如图,已知在△ABC 中,AD∶DC=1∶1,E 为 BD 的中
点,AE 延长线交 BC 于 F,则 BF 与 FC 的比值为____________.
解析:过 D 作 DG 平行于 BC,交 AF 于点 G,再根据平行线等
分线段定理即可解决.
答案:1
2
13.如图,等边△DEF 内接于△ABC,且 DE∥BC,已知 AH⊥BC 于 H,BC=4 cm,
AH=2 cm,则△DEF 的边长为________cm.
解析:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC,DE∥BC,
∴AG⊥DE,
∴DE
BC
=AG
AH
,
设 DE=x,则 GH= 3
2 x,AG=AH-GH=2- 3
2 x.
∴x
4
=2- 3
2 x
2
.
解得:x=2 3-2(cm).
答案:2 3-2
14.(湖北高考)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的
射影为 E.若 AB=3AD,则CE
EO
的值为________.
解析:连接 AC,BC,则 AC⊥BC.
∵AB=3AD,
∴AD=1
3AB,BD=2
3AB,OD=1
6AB.
又 AB 是圆 O 的直径,OC 是圆 O 的半径,
∴OC=1
2AB.
在△ABC 中,根据射影定理有:CD2=AD·BD=2
9AB2.
在△OCD 中,根据射影 定理有:OD2=OE·OC,
CD2=CE·OC,可得 OE= 1
18AB,CE=4
9AB,
∴CE
EO
=8.
答案:8
三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
15.(本小题满分 12 分)如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,M 是 AD
上一点,BM,CM 的延长线分别交 AC,AB 于 F,E.
求证:EF∥BC.
证明:法一:延长 AD 至 G,使 DG=MD,连接 BG,CG.
∵BD=DC,MD=DG,
∴四边形 BGCM 为平行四边形.
∴EC∥BG,FB∥CG.
∴AE
AB
=AM
AG
,AF
AC
=AM
AG.
∴AE
AB
=AF
AC.
∴EF∥BC.
法二:过点 A 作 BC 的平行线,
与 BF,CE 的延长线分别交于 G,H.
∵AH∥DC,AG∥BD,
∴AH
DC
=AM
MD
,AG
BD
=AM
MD.
∴AH
DC
=AG
BD.
∵BD=DC,
∴AH=AG.
∵HG∥BC,
∴AE
EB
=AH
BC
,AF
FC
=AG
BC.
∵AH=AG,
∴AE
EB
=AF
FC.
∴EF∥BC.
16.(本小题满分 12 分)如图所示,已知边长为 12 的正三角形 ABC,
DE∥BC,S△BCD∶S△BAC=4∶9,求 EC 的长.
解:如图,过 D 作 DF⊥BC,
过 A 作 AG⊥BC,
S△BCD=1
2BC·DF,
S△BAC=1
2BC·AG.
因为 S△BCD∶S△BAC=4∶9,
所以 DF∶AG=4∶9.
因为△BDF∽△BAG,
所以 BD∶BA=DF∶AG=4∶9.
因为 AB=12,
所以 CE=BD=16
3 .
17.(本小题满分 12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中,求证:
AC·BD≤AB·CD+AD·BC.
证明:如图所示.
取点 E 使∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD,
连接 AE,BE,DE,
则△ABE∽△ACD.
∴AB
AC
=AE
AD
,①
AB
AC
=BE
CD.②
由①及∠BAC=∠EAD,得△BAC∽△EAD.
∴BC
ED
=AC
AD.③
由②得 BE=AB·CD
AC
,
由③得 ED=BC·AD
AC .
由于 BE+ED≥BD,
∴AB·CD
AC
+BC·AD
AC
≥BD.
∴AB·CD+BC·AD≥AC·BD.
18.(本小题满分 14 分)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AE
是∠CAB 的角平分线,CD 与 AE 相交于点 F,EG⊥AB 于 G.
求证:EG2=FD·EB.
证明:因为∠ACE=90°,CD⊥AB,
所以∠CAE+∠AEC=90°,∠FAD+∠AFD=90°.
因为∠AFD=∠CFE,
所以∠FAD+∠CFE=90°.
又因为∠CAE=∠FAD,
所以∠AEC=∠CFE.
所以 CF=CE.
因为 AE 是∠CAB 的平分线,EG⊥AB,EC⊥AC,
所以 EC=EG,CF=EG.
因为∠B+∠CAB=90°,∠ACF+∠CAB=90°,
所以∠ACF=∠B.
因为∠CAF=∠BAE,
所以△AFC∽△AEB,AF
AE
=CF
EB.
因为 CD⊥AB,EG⊥AB,
所以 Rt△ADF∽Rt△AGE.
所以AF
AE
=FD
EG.
所以CF
EB
=FD
EG.
所以 CF·EG=FD·EB,
即 EG2=FD·EB.
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