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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测(一)b卷word版含解析

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阶段质量检测(一) B 卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.如图,AD∥EF∥BC,GH∥AB,则图中与△BOC 相似的三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 C 根据相似三角形的预备定理可得 △OEF∽△OAD,△CHG∽△CBO,△OAD∽△OBC. 2.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 中点,AE⊥AD 交 CB 延长线于点 E,则下列结论正确的是( ) A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 解析:选 C ∵D 为 BC 的中点,∠CAB=90°, ∴AD=BD,∴∠DAB=∠DBA, ∴∠C=∠BAE,又∵∠E=∠E, ∴△BAE∽△ACE. 3.已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、 PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不变,设 BP=x,EF=y 那么下列结论中正确的是( ) A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增加后减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 解析:选 D 连接 AR,∵E、F 分别为 AP、PR 的中点, ∴EF 是△APR 的中位线, ∴EF=1 2AR, ∵当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时, 点 R 在 CD 上固定不变,故选 D. 4.如图,G 点是△ABC 的重心,GE∥BC,那么 AB 是 BE 的( ) A.3 倍 B.6 倍 C.2 倍 D.4 倍 解析:选 A ∵G 是△ABC 的重心, ∴GC=2DG,∵GE∥BC,∴BE=2ED. ∴BE=2 3BD,即 BD=3 2BE. ∵AB=2BD,∴AB=2×3 2BE=3BE. 5.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C. 6∶3 D.不确定 解析:选 C 如右图,在 Rt△ACB 中,CD⊥AB,由射影定理得 CD2 =AD·BD, 即CD AD =BD CD. 又∵∠ADC=∠BDC=90°, ∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD=2∶3,令 AD=2x, BD=3x(x>0).∴CD2=6x2,∴CD= 6x. 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD = 2x 6x = 6 3 . 6.如右图,过梯形 ABCD 的腰 AD 的中点 E 的直线 EF 平行于底边,交 BC 于 F,若 AE 的长是 BF 的长的2 3 ,则 FC 是 ED 的________倍.( ) A.2 3 B.3 2 C.1 D.1 2 解析:选 B ∵AB∥EF∥DC,且 AE=DE, ∴BF=FC.又∵AE=2 3BF, ∴FC=3 2ED. 7.如图,在正三角形 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上,且AD AC =1 3 , AE=BE,则有( ) A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 解析:选 B 直接法,注意到∠A=∠C=60°,可设 AD=a, 则 AC=3a,而 AB=AC=BC=3a. 所以 AE=BE=3 2a.所以AD AE = a 3 2a =2 3. 又CD BC =2a 3a =2 3 ,所以AD AE =CD CB , ∠A=∠C=60°, 故△AED∽△CBD,选 B. 8.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 解析:选 B 连接梯形各边中点,可得平行四边形,由于等腰梯形的对角线相等,所 以平行四边形的各边相等,由此可以判定此四边形必定为菱形. 9.如图,锐角三角形 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O,图中与△ODB 相似的三角形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C ∵BE⊥AC,CD⊥AB, ∴△ODB,△ABE,△ADC,△OCE 都是直角三角形. 又∵∠DBO=∠EBA,∠A=∠A,∠DOB=∠EOC, ∴△ODB∽△AEB∽△ADC,△ODB∽△OEC, ∴与△ODB 相似的三角形有 3 个. 10.如图所示,将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 60°至 AB′C′D′的位置,则这两个正方形重叠部分的面积为( ) A.4 B.2- 3 C.2+ 3 D. 3-1 解析:选 B 如图,过 B′点作 EF∥BC, 分别交 AB、DC 于 E、F,连接 AK. 由基本图形知, Rt△KFB′∽Rt△B′EA. 在 Rt△AB′E 中, ∠EAB′=60°,AB′=1, ∴B′E= 3 2 . ∴KB′ AB′ =B′F AE =1-B′E AE = 1- 3 2 1 2 =2- 3 ∴KB′=2- 3. 又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK, ∴SAB′KD=2S△AB′K=AB′×KB′=2- 3. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图,在▱ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM=________,DN =________. 解析:BM AD =BE ED =1 2 , ∴BM=1 2BC=12,DN BM =DF FB =1 2 , ∴DN=1 2BM=6. 答案:12 6 12.如图,已知在△ABC 中,AD∶DC=1∶1,E 为 BD 的中 点,AE 延长线交 BC 于 F,则 BF 与 FC 的比值为____________. 解析:过 D 作 DG 平行于 BC,交 AF 于点 G,再根据平行线等 分线段定理即可解决. 答案:1 2 13.如图,等边△DEF 内接于△ABC,且 DE∥BC,已知 AH⊥BC 于 H,BC=4 cm, AH=2 cm,则△DEF 的边长为________cm. 解析:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC,DE∥BC, ∴AG⊥DE, ∴DE BC =AG AH , 设 DE=x,则 GH= 3 2 x,AG=AH-GH=2- 3 2 x. ∴x 4 =2- 3 2 x 2 . 解得:x=2 3-2(cm). 答案:2 3-2 14.(湖北高考)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的 射影为 E.若 AB=3AD,则CE EO 的值为________. 解析:连接 AC,BC,则 AC⊥BC. ∵AB=3AD, ∴AD=1 3AB,BD=2 3AB,OD=1 6AB. 又 AB 是圆 O 的直径,OC 是圆 O 的半径, ∴OC=1 2AB. 在△ABC 中,根据射影定理有:CD2=AD·BD=2 9AB2. 在△OCD 中,根据射影 定理有:OD2=OE·OC, CD2=CE·OC,可得 OE= 1 18AB,CE=4 9AB, ∴CE EO =8. 答案:8 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 12 分)如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,M 是 AD 上一点,BM,CM 的延长线分别交 AC,AB 于 F,E. 求证:EF∥BC. 证明:法一:延长 AD 至 G,使 DG=MD,连接 BG,CG. ∵BD=DC,MD=DG, ∴四边形 BGCM 为平行四边形. ∴EC∥BG,FB∥CG. ∴AE AB =AM AG ,AF AC =AM AG. ∴AE AB =AF AC. ∴EF∥BC. 法二:过点 A 作 BC 的平行线, 与 BF,CE 的延长线分别交于 G,H. ∵AH∥DC,AG∥BD, ∴AH DC =AM MD ,AG BD =AM MD. ∴AH DC =AG BD. ∵BD=DC, ∴AH=AG. ∵HG∥BC, ∴AE EB =AH BC ,AF FC =AG BC. ∵AH=AG, ∴AE EB =AF FC. ∴EF∥BC. 16.(本小题满分 12 分)如图所示,已知边长为 12 的正三角形 ABC, DE∥BC,S△BCD∶S△BAC=4∶9,求 EC 的长. 解:如图,过 D 作 DF⊥BC, 过 A 作 AG⊥BC, S△BCD=1 2BC·DF, S△BAC=1 2BC·AG. 因为 S△BCD∶S△BAC=4∶9, 所以 DF∶AG=4∶9. 因为△BDF∽△BAG, 所以 BD∶BA=DF∶AG=4∶9. 因为 AB=12, 所以 CE=BD=16 3 . 17.(本小题满分 12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中,求证: AC·BD≤AB·CD+AD·BC. 证明:如图所示. 取点 E 使∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, 连接 AE,BE,DE, 则△ABE∽△ACD. ∴AB AC =AE AD ,① AB AC =BE CD.② 由①及∠BAC=∠EAD,得△BAC∽△EAD. ∴BC ED =AC AD.③ 由②得 BE=AB·CD AC , 由③得 ED=BC·AD AC . 由于 BE+ED≥BD, ∴AB·CD AC +BC·AD AC ≥BD. ∴AB·CD+BC·AD≥AC·BD. 18.(本小题满分 14 分)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AE 是∠CAB 的角平分线,CD 与 AE 相交于点 F,EG⊥AB 于 G. 求证:EG2=FD·EB. 证明:因为∠ACE=90°,CD⊥AB, 所以∠CAE+∠AEC=90°,∠FAD+∠AFD=90°. 因为∠AFD=∠CFE, 所以∠FAD+∠CFE=90°. 又因为∠CAE=∠FAD, 所以∠AEC=∠CFE. 所以 CF=CE. 因为 AE 是∠CAB 的平分线,EG⊥AB,EC⊥AC, 所以 EC=EG,CF=EG. 因为∠B+∠CAB=90°,∠ACF+∠CAB=90°, 所以∠ACF=∠B. 因为∠CAF=∠BAE, 所以△AFC∽△AEB,AF AE =CF EB. 因为 CD⊥AB,EG⊥AB, 所以 Rt△ADF∽Rt△AGE. 所以AF AE =FD EG. 所以CF EB =FD EG. 所以 CF·EG=FD·EB, 即 EG2=FD·EB.