2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 9页

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题. 知识点 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ. 则 a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ x2＋y2. 若表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2 －y1)，|a|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 . 思考 若两个非零向量的夹角满足 cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当 cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是 180°. 1.若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.( × ) 2.若两个非零向量的夹角θ满足 cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角. 3.两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足 x1y2－x2y1＝0，则向量 a 与 b 的夹角为 0°.( × ) 4.若向量 a＝(1,0)，b＝ 1 2 ， 1 2 ，则|a|＝|b|.( × ) 提示 |a|＝1，|b|＝ 1 2 2＋ 1 2 2＝ 2 2 ，显然|a|≠|b|. 一、数量积的坐标运算 例 1 已知 a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( ) A.10 B.－10 C.3 D.－3 答案 B 解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式 a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关 系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 跟踪训练 1 向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 C 解析 因为 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， 所以 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)， 则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1. 二、平面向量的模 例 2 已知平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求 a－2b 及其模的大小. 解 ∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a－2b|＝ 72＋32＝ 58. 反思感悟 求向量 a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即 a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a2＝ x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量 运算的相互转化. 跟踪训练 2 已知向量 a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 答案 C 解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5 2，∴(a＋b)2＝50， 即 a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 例 3 (1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且 a·b＝1，则向量 a 与 b 夹角的大小为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案 C 解析 因为|a|＝1，b＝(0,2)，且 a·b＝1， 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 1 1× 0＋22 ＝ 1 2 . 又因为θ∈[0，π]，则θ＝π 3 . 所以向量 a 与 b 夹角的大小为 π 3 . (2)设向量 m＝(2x－1,3)，向量 n＝(1，－1)，若 m⊥n，则实数 x的值为( ) A.－1 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 因为向量 m＝(2x－1,3)，向量 n＝(1，－1)，m⊥n， 所以 m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得 x＝2. 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 直接求出 cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是 0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ a·b |a||b| 判断θ的值时，要注意 cos θ<0 时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为 180°； cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为 0°. 跟踪训练 3 已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝________. 答案 7 解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3). 又 a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得 m＝7. 1.若向量 a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则 x等于( ) A.3 B.－3 C.5 3 D.－5 3 答案 A 解析 a·b＝－x＋6＝3，故 x＝3. 2.已知 a＝(3,4)，b＝(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B. 65 C. 13 5 D. 13 答案 A 解析 |a|＝ 32＋42＝5，|b|＝ 52＋122＝13. a·b＝3×5＋4×12＝63. 设 a 与 b 的夹角为θ，所以 cos θ＝ 63 5×13 ＝ 63 65 . 3.已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，则|a|等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C 解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝ 12＋n2＝2. 4.若平面向量 a＝(1，－2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝3 5，则 b 等于( ) A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) 答案 A 解析 由题意，设 b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝ λ2＋－2λ2＝ 5|λ|＝3 5， 又λ<0，∴λ＝－3，故 b＝(－3,6). 5.已知向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|等于( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案 B 解析 由题意可得 a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得 x＝2. 再由 a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)， 可得|a＋b|＝ 10. 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b 为非零向量). (3)cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 (θ为非零向量 a，b 的夹角). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 1.设向量 a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A.|a|＝|b| B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b 答案 D 解析 a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0， 所以(a－b)⊥b. 2.已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案 B 解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5， ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 5 10× 5 ＝ 2 2 (θ为 a，b 的夹角). 又∵a，b 的夹角的范围为[0，π]. ∴a 与 b 的夹角为 π 4 . 3.已知向量 a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若 a⊥b，则 m的值为( ) A.－2 B.2 C.1 2 D.－1 2 答案 C 解析 因为向量 a＝(1,2)，b＝(－1，m)，a⊥b， 所以 a·b＝－1＋2m＝0，解得 m＝1 2 . 4.a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则 3|a|2－4a·b 等于( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案 D 解析 3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83. 5.已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且 a∥b，则|a－b|等于( ) A.5 3 B.3 5 C.2 5 D.2 2 答案 B 解析 因为 a∥b，所以 4＋2x＝0，所以 x＝－2， a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)， 所以|a－b|＝3 5. 6.已知 a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则 a·(a＋2b)＝________. 答案 4 解析 ∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4. 7.设向量 a＝(1,0)，b＝(－1，m).若 a⊥(ma－b)，则 m＝________. 答案 －1 解析 由题意得 ma－b＝(m＋1，－m)， 根据向量垂直的充要条件可得 1×(m＋1)＋0×(－m)＝0， 所以 m＝－1. 8.设向量 a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 m＝________. 答案 －2 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得 a·b＝0， 即 m＋2＝0，解得 m＝－2. 9.已知平面向量 a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R). (1)若 a⊥b，求 x的值； (2)若 a∥b，求|a－b|. 解 (1)∵a⊥b， ∴a·b＝0，即 1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0， 解得 x＝－1或 x＝3. (2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 解得 x＝0或 x＝－2. 当 x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2. 当 x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， ∴a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝2 5. ∴|a－b|＝2或 2 5. 10.已知 a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围. 解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝ 2，|b|＝ 1＋λ2，a·b＝λ－1. 又∵a，b 的夹角α为钝角， ∴ λ－1<0， 2 1＋λ2≠1－λ， 即 λ<1， λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1). 11.已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案 B 解析 因为 m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， 由(m＋n)⊥(m－n)， 可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 12.已知OA→＝(－2,1)，OB→＝(0,2)且AC→∥OB→，BC→⊥AB→，则点 C的坐标是( ) A.(2,6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2,6) 答案 D 解析 设 C(x，y)，则AC→＝(x＋2，y－1)， BC→＝(x，y－2)，AB→＝(2,1)， ∵AC→∥OB→，∴2(x＋2)＝0，① ∵BC→⊥AB→，∴2x＋y－2＝0，② 由①②可得 x＝－2， y＝6， ∴C(－2,6). 13.设 m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量 m，n 之间的一个运算“⊗”为 m⊗n＝(ac－bd，ad ＋bc)，若已知 p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则 q 的坐标为________. 答案 (－2,1) 解析 设 q＝(x，y)，则 p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3). ∴ x－2y＝－4， y＋2x＝－3， ∴ x＝－2， y＝1. ∴q＝(－2,1). 14.如图所示，在矩形 ABCD中，AB＝ 2，BC＝2，点 E在边 CD上，且DE→＝2EC→，则AE→ ·BE→ 的值是________. 答案 32 9 解析 以 A为原点，AB所在直线为 x轴、AD所在直线为 y轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵AB＝ 2，BC＝2， ∴A(0,0)，B( 2，0)，C( 2，2)，D(0,2)， ∵点 E在边 CD上，且DE→＝2EC→， ∴E 2 2 3 ，2 .∴AE→＝ 2 2 3 ，2 ，BE→＝ － 2 3 ，2 ， ∴AE→ ·BE→＝－ 4 9 ＋4＝32 9 . 15.已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中 m为实数，则当 a 与 b 的夹角在 0， π 12 内变动时， 实数 m的取值范围是( ) A.(0,1) B. 3 3 ， 3 C. 3 3 ，1 ∪(1， 3) D.(1， 3) 答案 C 解析 如图，作OA→＝a，则 A(1,1). 作OB1→ ，OB2→ ， 使∠AOB1＝∠AOB2＝ π 12 ， 则∠B1Ox＝π 4 － π 12 ＝ π 6 ， ∠B2Ox＝ π 4 ＋ π 12 ＝ π 3 ， 故 B1 1， 3 3 ，B2(1， 3). 又 a 与 b 的夹角不为 0，故 m≠1. 由图可知实数 m的取值范围是 3 3 ，1 ∪(1， 3). 16.已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD为矩形，求点 C的坐标并求矩形 ABCD两条对角线所成的锐角的余弦 值. (1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3). 又∵AB→ ·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD→，即 AB⊥AD. (2)解 ∵AB→⊥AD→，四边形 ABCD为矩形， ∴DC→＝AB→ . 设 C点坐标为(x，y)，则AB→＝(1,1)，DC→＝(x＋1，y－4)， ∴ x＋1＝1， y－4＝1， 解得 x＝0， y＝5. ∴C点坐标为(0,5). 由于AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)， ∴AC→ ·BD→＝8＋8＝16. 又|AC→ |＝2 5，|BD→ |＝2 5， 设AC→与BD→的夹角为θ， 则 cos θ＝ AC→ ·BD→ |AC→ ||BD→ | ＝ 16 20 ＝ 4 5 >0， ∴矩形 ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为 4 5 .