百师联盟2020届高三练习题二（全国卷）数学（理）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com 百师联盟2020届高三练习题二（全国卷II）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上 ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知实数集，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得或，从而得到集合，由此可得集合的补集.‎ ‎【详解】，‎ 则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查一元二次不等式的解法、集合的补集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后令求出，然后即可求出 ‎【详解】因为 所以 令时有，所以 所以 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.‎ ‎3.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（ ）‎ A. ，甲比乙成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定 C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，乙比甲成绩稳定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差，即可得出正确的结论.‎ ‎【详解】，，，，因为，所以乙比甲成绩稳定，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查利用茎叶图中的数据计算平均数与方差，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎4.设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后即可求出 ‎【详解】因为 所以 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查是分段函数的知识，较简单.‎ ‎5.设表示平面，是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）‎ ‎①若，，则 ‎②若，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可 ‎【详解】若，，则或，故①错误 若，，则，故②正确 若，，则，故③正确 若，，则可以相交、平行、异面，故④错误 故选：B ‎【点睛】本题考查的是运用空间中直线与平面的相关定理判断命题的真假，较简单.‎ - 22 -‎ ‎6.某居民小区要建一个容积为，高为的无盖长方体蓄水池，已知该蓄水池的底面造价师每平方米元，当最低造价为元时，则侧面每平方米的造价为（ ）‎ A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设长方体容器的长为，宽为，侧面每平方米的造价为元，则可得到，然后该容器的造价为：，用基本不等式求出最小值，然后即可解出 ‎【详解】设长方体容器的长为，宽为，侧面每平方米的造价为元 则，即 则该容器的造价为：‎ 当且仅当时取得最小值 所以，解得 故选：C ‎【点睛】本题考查的是利用基本不等式求解实际问题中的最值问题，较简单.‎ ‎7.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件先算出，然后再求出即可 ‎【详解】因为，所以 - 22 -‎ 即，即，所以 所以 因为，所以 所以 所以 故选：A ‎【点睛】要熟悉与的关系，即.‎ ‎8.已知向量，，则向量在向量方向上投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先算出和的坐标，然后即可求出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 所以向量在向量方向上的投影为 故选：C ‎【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单.‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数，可排除选项，再根据函数值的情况排除,得到答案.‎ ‎【详解】由，‎ 即函数为偶函数，其图像关于轴对称, 可排除选项.‎ 又当 时，，可排除.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据表达式选择图像，这类题主要从函数的定义域、值域、对称性(奇偶性)、单调性、特殊点处的函数值等方面着手分析,属于中档题.‎ ‎10.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事。通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为厘米现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是？（石子体积均视为一致）‎ 圆台体积公式：，其中，为圆台高，为圆台下底面半径，‎ - 22 -‎ 为圆台上底面半径（ ）‎ A. 2颗 B. 3颗 C. 4颗 D. 5颗 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用圆台的体积公式求出一颗石子的体积，再求出锥形瓶的体积，然后用锥形瓶的体积除以一颗石子的体积，就得乌鸦共需要投入的石子数量.‎ ‎【详解】如图1所示，，，，所以．原水位线直径，投入石子后，水位线直径，则由圆台公式得到，．同理，空瓶体积是由空瓶圆台加圆柱体得到，即 ‎，则需要石子的个数，‎ 即，则至少需要4颗石子．‎ 故选：C．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】此题考查圆台、圆柱的体积计算，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，对，都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，然后利用导数求出右边的最小值即可.‎ ‎【详解】由得 令，则 令，则 所以在上单调递增 所以，所以 所以在上单调递增 所以，所以 故选：D ‎【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为最值问题.‎ - 22 -‎ ‎12.已知数列的前项和为，且，又当时，恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，两式相减得，即，然后得，然后得，然后，然后解出不等式即可.‎ ‎【详解】因为当时，‎ 所以当时，‎ 两式相减得：‎ 所以 所以是等差数列 因为，所以 所以 所以 所以 - 22 -‎ 所以 解得或（舍）‎ 所以正整数的最小值为5‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的知识点有：数列与的关系，累加法求通项公式、裂项相消法求和，属于比较综合的题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知数列，是数列的前项和，满足，通过计算，可以猜想__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由算出即可猜想出答案 ‎【详解】因为 所以，，‎ 所以猜想 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列与的关系，较简单.‎ ‎14.已知圆，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出圆上以，为切点的切线方程，由于点在这两条切线上，可得出直线的方程.‎ - 22 -‎ ‎【详解】设，，则切线的方程为 ‎，因为点在切线上，所以切线的方程为，即①，同理，切线的方程为②，由①②得，直线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查圆的切线的有关知识，属于基础题.‎ ‎15.下列五个命题：‎ ‎（1）的否定是；‎ ‎（2）函数的图象可以由的图象向左平移个单位而得到；‎ ‎（3）若，则与的夹角为钝角；‎ ‎（4）若，则函数的最小值为；‎ ‎（5）是的充分不必要条件；‎ 其中正确命题的序号是(只填序号)__________.‎ ‎【答案】（1）（2）（5）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关知识逐一判断即可.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题知（1）正确 函数的图象可以由的图象向左平移个单位而得到；‎ 故（2）正确 若，则与的夹角为钝角或，故（3）错误 ‎，当且仅当时等号成立，故（4）错误 是的充分不必要条件，故（5）正确 故答案为：（1）（2）（5）‎ ‎【点睛】本题考查的知识点有：全称命题的否定，三角函数图象的平移变换，向量的数量积，基本不等式及充分不必要条件的判断，属于综合题.‎ - 22 -‎ ‎16.已知函数(，，是常数)的图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则函数的单调区间递减区间为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得出，然后即可得到，由图象过点可得，然后解出不等式即可 ‎【详解】‎ 因为图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为 所以，所以，即，所以 所以 因为图象过点，所以 所以 所以 由得 所以函数的单调区间递减区间为 故答案为：‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，较为综合.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列满足，为数列的前项和 ‎（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和 ‎【答案】（1）证明见解析，.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，两式相减得，然后即可证明是等比数列，并求出的通项公式,‎ ‎（2），然后即可算出.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以 因为①，②，‎ ‎②-①得 得 所以 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以 所以 ‎（2）‎ 所以 - 22 -‎ ‎【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.‎ ‎18.在某公司的一次招聘初试笔试中，随机抽取了名应聘者的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎（1）求抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎（2）已知样本中成绩在中的名考生中，有名男生，名女生，现从中选人进行谈话，记选出的男生人数为，求的分布列与期望.‎ ‎【答案】（1）.（2）分布列答案见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频数分布表直接算出答案即可；‎ ‎（2）的可能取值为，然后求出对应的概率即可.‎ ‎【详解】（1）由频数分布表，得样本平均数为 ‎（2）由已知得的可能取值为 ‎，‎ ‎，‎ - 22 -‎ 所以的分布列为 ‎【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列及期望，把每个概率算正确是解题的关键.‎ ‎19.在中，角的对边分别为，且 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，然后变形推出即可 ‎（2）由正弦定理，，然后利用求出范围即可.‎ ‎【详解】（1）由，由正弦定理得，‎ 所以 因为 所以 因为 所以 - 22 -‎ 所以 所以 ‎（2）由正弦定理，‎ 所以，‎ 所 因为 所以 所以 所以 所以 ‎【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化和利用三角函数求三角形周长的范围，属于典型题.‎ ‎20.已知函数是定义在上的奇函数，，‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是上的增函数.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是上的奇函数求出，，然后 - 22 -‎ ‎，即可判断出其单调性 ‎（2）由得，然后得出即可 ‎【详解】（1）因为是上的奇函数 所以 所以，所以 所以 又 所以 所以 所以 因为 所以是上增函数 ‎（2）因为是上的增函数且是奇函数，由 所以 所以 即对任意恒成立 只需，所以 解之得，或 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将去掉是解题的关键.‎ - 22 -‎ ‎21.已知动点到直线的距离比到点的距离大 ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）为上两点，为坐标原点，，过分别作的两条切线，相交于点，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）轨迹为抛物线，其方程为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点的坐标为，根据条件列出方程，然后化简即可；‎ ‎（2）设直线的方程为，，联立直线与抛物线的方程得出，然后用表示出和点到直线的距离，然后可得到，即可求出其最小值.‎ ‎【详解】（1）设点的坐标为 因为动点到定直线的距离比到点的距离大 所以，且，化简得 所以轨迹为抛物线，其方程为 ‎（2）依题意，设直线的方程为 由，得 因为直线与抛物线交于两点 所以 设，‎ 又因为 所以 - 22 -‎ 所以 所以 所以 所以 由 过点的切线方程为，即①‎ 过点的切线方程为，即②‎ 由①②得，，‎ 所以过的两条抛物线的切线相交于点 所以点到直线的距离 当时，的面积最小，最小值为 ‎【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若在时取得极小值，求的解析式；‎ ‎（2）当时，判断函数在上的零点个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）一个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由在时取得极小值，得，求出，再进行检验；‎ ‎（2），令，得或.分和两种情况讨论函数在上的零点个数.‎ ‎【详解】（1）定义域为，.‎ 在时取得极小值，所以，解得.‎ ‎.‎ 由，得或；，得.‎ 上单调递减，在，上单调递增，‎ 在时取得极小值.‎ ‎，.‎ ‎（2）由，解得或.‎ 当时，，令得，‎ 当时，；当时，，‎ 此时在上有且只有一个零点；‎ 当时，，‎ 由，得或；，得，‎ 在，上单调递增，在上单调递减，‎ 又，，，‎ 此时在上有且只有一个零点.‎ 综上所述，当时，在上有一个零点.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的解析式，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎ - 22 -‎