人教A版数学必修二3-1-2两条直线平行与垂直的判定 3页

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 一、教材分析 直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定 的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联 系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值 得略加说明. 二、教学目标 1．知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2．过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. 3．情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生 的学习兴趣. 三、教学重点与难点 教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直 线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜 率来判定两条直线平行呢? 思路 2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认 为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？ ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？ ④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ⑤l1∥l2 时，k1 与 k2 满足什么关系？ ⑥l1⊥l2 时，k1 与 k2 满足什么关系？ 活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②数形结合容易得出结论. ③注意到倾斜角是 90°的直线没有斜率,即 tan90°不存在. ④注意到倾斜角是 90°的直线没有斜率. ⑤必要性：如果 l1∥l2，如图 1 所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即 k1=k2. 图 1 充分性：如果 k1=k2,即 tanα1=tanα2, ∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是 l1∥l2. ⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件. 讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立. ③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件. ④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立. ⑤l1∥l2  k1=k2. ⑥l1⊥l2  k1k2=-1. （三）应用示例 例 1 已知 A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线 BA 与 PＱ的位置关系，并证 明你的结论. 解:直线 BA 的斜率 kBA= )4(2 03   =0.5, 直线 PQ 的斜率 kPQ= )3(1 12   =0.5, 因为 kBA=kPQ.所以直线 BA∥PQ. 变式训练 若 A(-2,3),B(3,-2),C( 2 1 ,m)三点共线，则 m 的值为( ) A. 2 1 B.- 2 1 C.-2 D.2 分析：kAB=kBC, 32 1 2 23 32    m ,m= 2 1 . 答案：A 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD 的 形状，并给出证明. 解：AB 边所在直线的斜率 kAB=- 2 1 , CD 边所在直线的斜率 kCD=- 2 1 , BC 边所在直线的斜率 kBC= 2 3 , DA 边所在直线的斜率 kDA= 2 3 . 因为 kAB=kCD,kBC=kDA,所以 AB∥CD,BC∥DA. 因此四边形 ABCD 是平行四边形. 变式训练 直线 l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2. （1）a=_____________时，α1=150°； （2）a=_____________时，l2⊥x 轴； （3）a=_____________时，l1∥l2； （4）a=_____________时，l1、l2 重合； （5）a=_____________时，l1⊥l2. 答案：（1） 3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5 （四）知能训练 习题 3.1 A 组 6、7. （五）拓展提升 问题：已知 P（－3，2），Q（3，4）及直线 ax+y+3=0.若此直线分别与 PQ 的延长线、QP 的延长线相交， 试分别求出 a 的取值范围.（图 2） 图 2 解：直线 l：ax+y+3=0 是过定点 A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知 PQ、AQ、AP、l 的斜 率分别为：kPQ= 3 1 ，kAQ= 3 7 ，kAP= 3 5 ，k1=-a. 若 l 与 PQ 延长线相交，由图,可知 kPQ＜k1＜kAQ，解得- 3 7 ＜a＜- 3 1 ； 若 l 与 PQ 相交，则 k1＞kAQ 或 k1＜kAP，解得 a＜- 3 7 或 a＞ 3 5 ； 若 l 与 QP 的延长线相交，则 kPQ＞k1＞kAP，解得- 3 1 ＜a＜ 3 5 . （六）课堂小结 通过本节学习，要求大家： 1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行. 2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直. 3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题. （七）作业 习题 3.1 A 组 4、5.