【数学】2020届一轮复习北师大版排列与排列数公式课时作业 4页

知识点一 排列的概念 ‎1.下列问题是排列问题吗？‎ ‎(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？‎ ‎(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？‎ ‎(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？‎ 解　(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题．‎ ‎(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．‎ ‎(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题．‎ 知识点二 排列的列举问题 ‎2.写出下列问题的所有排列：‎ ‎(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？‎ ‎(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？‎ 解　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．‎ 故符合题意的机票种类有：‎ 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．‎ ‎(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．‎ 所以符合题意的所有排列是：‎ BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种.‎ 知识点三 排列数的计算 ‎3.＝(　　)‎ A．12 B．24 C．30 D．36‎ 答案　D 解析　A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.‎ ‎4．已知A＝7A，则n＝________.‎ 答案　7‎ 解析　原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)．解得n＝7.‎ ‎5．若3A＝2A＋6A，求n.‎ 解　由3A＝2A＋6A，得 ‎3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．‎ 因为n≥3且n∈N*，‎ 所以3n2－17n＋10＝0.‎ 解得n＝5或n＝(舍去)．‎ 所以n＝5.‎ ‎6．求证：A＋mA＝A.‎ 证明　A＋mA＝＋m· ‎＝＝＝A.‎ 一、选择题 ‎1．下列问题中：‎ ‎(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；‎ ‎(2)10位同学去做春季运动会志愿者；‎ ‎(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；‎ ‎(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．‎ 属于排列的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.‎ ‎2．20×19×18×…×9＝(　　)‎ A．A B．A C．A D．A 答案　A 解析　∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A.‎ ‎3．已知A＝132，则n等于(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ 答案　B 解析　A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，‎ 解得n＝12或n＝－11(舍去)．‎ ‎4．若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是(　　)‎ A．3 B．8 C．0 D．5‎ 答案　A 解析　∵当n≥5时，‎ A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，‎ ‎∴当n≥5时A的个位数字为0，‎ 又∵A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，‎ ‎∴M的个位数字为3.‎ ‎5．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)‎ A．20 B．16 C．10 D．6‎ 答案　B 解析　不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16种不同的选法．‎ 二、填空题 ‎6．A－6A＋5A＝________.‎ 答案　120‎ 解析　原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.‎ ‎7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．‎ 答案　252‎ 解析　三名主力队员排在第一、三、五位置有A种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A种排法，故共有A·A＝252种出场安排．‎ ‎8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．‎ 答案　24‎ 解析　第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A＝24种．‎ 三、解答题 ‎9．解下列各式中的n值．‎ ‎(1)90A＝A；‎ ‎(2)A·A＝42A.‎ 解　(1)∵90A＝A，‎ ‎∴90n(n－1)＝n·(n－1)(n－2)(n－3)，‎ ‎∴n2－5n＋6＝90，‎ n2－5n－84＝0即(n－12)(n＋7)＝0，‎ n＝12或n＝－7.‎ 由排列数定义知n≥4，n∈N*，∴n＝12.‎ ‎(2)∵A·A＝42A，‎ ‎∴·(n－4)！＝42(n－2)！，‎ ‎∴n(n－1)＝42，‎ 即n2－n－42＝0解得n＝7或n＝－6.‎ 由排列数定义知n≥4，n∈N*.‎ ‎∴n＝7.‎ ‎10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：‎ ‎(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？‎ ‎(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？‎ 解　(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝1800.‎ ‎(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝2520种．‎