山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用课件 48页

第二章 函数、导数及其应用 第十讲　函数模型及其应用 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点　函数模型及其应用 1 ． 几类常见的函数模型 2. 三种函数模型的性质 递增 递增 快 慢 y 轴 x 轴 3. 解函数应用问题的步骤 (1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3) 解模：求解数学模型，得出数学结论； (4) 还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： ABCD 题组二　走进教材 2 ． ( 必修 1P 107 BT1 改编 ) 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是 ( 　　 ) A ．收入最高值与收入最低值的比是 3 ∶1 B ．结余最高的月份是 7 月 C ． 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D ．前 6 个月的平均收入为 40 万元 D 3 ． ( 必修 1P 104 例 5 改编 ) 某种动物繁殖量 y 只与时间 x 年的关系为 y ＝ a log 3 ( x ＋ 1) ，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们将发展到 ( 　　 ) A ． 200 只 B ． 300 只 C ． 400 只 D ． 500 只 [ 解析 ] 　 ∵ 繁殖数量 y 只与时间 x 年的关系为 y ＝ a log 3 ( x ＋ 1) ，这种动物第 2 年有 100 只， ∴ 100 ＝ a log 3 (2 ＋ 1) ， ∴ a ＝ 100 ， ∴ y ＝ 100log 3 ( x ＋ 1) ， ∴ 当 x ＝ 8 时， y ＝ 100log 3 (8 ＋ 1) ＝ 100 × 2 ＝ 200. 故选 A ． A 18 题组三　考题再现 5 ． (2015 · 北京， 5 分 ) 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 . 注： “ 累计里程 ” 指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 ( 　　 ) A ． 6 升 B ． 8 升 C ． 10 升 D ． 12 升 B 加油时间 加油量 / 升 加油时的累计里程 / 千米 2015 年 5 月 1 日 12 35 000 2015 年 5 月 15 日 48 35 600 [ 解析 ] 　 因为第一次 ( 即 5 月 1 日 ) 把油加满，而第二次把油加满加了 48 升，即汽车行驶 35 600 － 35 000 ＝ 600 千米耗油 48 升，所以每 100 千米的耗油量为 8 升，选 B ． 6 ． (2015 · 四川， 5 分 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：时 ) 与储藏温度 x ( 单位：℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ) ．若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时． 24 考点突破 • 互动探究 (1) (2017 · 全国卷 Ⅲ ) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量 ( 单位：万人 ) 的数据，绘制了下面的折线图． 考点　函数模型及应用 考向 1 　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 —— 自主练透 例 1 根据该折线图，下列结论错误的是 ( 　　 ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 A (2) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ℃ ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 ℃. 下面叙述不正确的是 ( 　　 ) A ．各月的平均最低气温都在 0 ℃ 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于 20 ℃ 的月份有 5 个 D (3) 如图，圆 O 的半径为 1 ， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M . 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x ) ，则 y ＝ f ( x ) 在 [0 ， π] 的图象大致为 ( 　　 ) B [ 解析 ] 　 (1) 通过题图可知 A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以 B 正确．从图观察 C 是正确的， D 也正确， 1 月至 6 月比较平稳， 7 月至 12 月波动比较大．故选 A ． (2) 由图形可得各月的平均最低气温都在 0 ℃ 以上， A 正确；七月的平均温差约为 10 ℃ ，而一月的平均温差约为 5 ℃ ，故 B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在 10 ℃ 左右，基本相同， C 正确；平均最高气温高于 20 ℃ 的月份只有 2 个， D 错误．故选 D ． 1 ． 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律 ( 如增长的快慢、最大、最小等 ) 与函数的性质 ( 如单调性、最值等 ) 、图象 ( 增加、减少的缓急等 ) 相吻合即可． 2 ． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． (2020 · 北京十一中月考 ) 已知 14 C 的半衰期为 5 730 年 ( 是指经过 5 730 年后， 14 C 的残余量占原始量的一半 ) ．设 14 C 的原始量为 a ，经过 x 年后的残余量为 b ，残余量 b 与原始量 a 的关系为 b ＝ a e － kx ，其中 x 表示经过的时间， k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14 C 的残余量约占原始量的 76.7 % . 请你推断一下马王堆汉墓修建距今约 _____________ 年． ( 参考数据： log 2 0.767≈ － 0.4) ． 2 292 例 2 考向 2 　已知函数模型解决实际问题 —— 师生共研 〔 变式训练 1〕 (2020 · 山西太原模拟 ) 某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为 8 万元时，奖励 1 万元；销售额为 64 万元时，奖励 4 万元，若公司拟定的奖励模型为 y ＝ a log 4 x ＋ b ( 其中 x 为销售额， y 为相应的奖金 ) ．某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为 _____________ 万元． 1 024 季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为 10 元，并且每周 (7 天 ) 涨价 2 元， 5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售， 10 周后旺季过去，平均每周减价 2 元，直到 16 周后，该商品不再销售． (1) 试建立价格 p 与周次 t 之间的函数关系式； (2) 若此商品每周进货一次，每件进价 Q 与周次之间的关系式为 Q ＝－ 0.125( t － 8) 2 ＋ 12 ， t ∈[0,16] ， t ∈ N ，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？ 考向 3 　构建函数模型解决实际问题 —— 多维探究 角度 1 　一次函数、二次函数分段函数模型 例 3 当 t ∈ [0,5] ， t ∈ N 时， L ( t ) max ＝ L (5) ＝ 9.125 ； 当 t ∈ (5,10] ， t ∈ N 时， L ( t ) max ＝ L (6) ＝ L (10) ＝ 8.5 ； 当 t ∈ (10,16] ， t ∈ N 时， L ( t ) 单调递减， L ( t ) max ＝ L (11) ＝ 7.125. 由 9.125>8.5>7.125 ，知 L ( t ) max ＝ 9.125. 从而第 5 周每件销售利润最大，最大值为 9.125 元． (1) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． (2) 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3) 分段函数的最大 ( 小 ) 值是各段最大 ( 小 ) 值中的最大 ( 小 ) 值． 例 4 角度 2 　指数函数与对数函数模型 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1) 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快 ( 底数大于 1) 的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2) 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． 〔 变式训练 2〕 (1) ( 角度 1) (2020 · 四川绵阳诊断性测试 ) 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过 10 立方米的，按每立方米 3 元收费；用水超过 10 立方米的，超过的部分按每立方米 5 元收费．某职工某月的水费为 55 元，则该职工这个月实际用水为 ( 　　 ) A ． 13 立方米 B ． 14 立方米 C ． 15 立方米 D ． 16 立方米 C ① 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y ( 毫克 ) 与时间 t ( 小时 ) 之间的函数 关系式为 _________ __ _____ __ __ __ __ ； ②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 __________ 小时后，学生才能回到教室． 0.6 名师讲坛 • 素养提升 例 5 (1) 写出年利润 L ( x )( 万元 ) 关于年产量 x ( 万件 ) 的函数解析式； ( 注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本 ) (2) 年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 〔 变式训练 3〕 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为 ____________ 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是 __________. 40 m,20 m 648 m 2