高考数学常见题型解法归纳反馈训练第83讲排列组合常见问题的解法 12页

第 83 讲 排列组合常见问题的解法 【知识要点】 一、两个计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有 类办法，在第一类办法中有 种不 同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第 类办法中有 种不同的方 法．那么完成这件事共有 ＝ 十 十…十 种不同的方法． 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同的 方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第 步有 种不同的方法．那么完成这件事 共有 种不同的方法． 3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类 都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完 成任务. 二、排列 1、排列的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素（这里的被取元素各不相 同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同. 3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列. 4、排列数的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素的所有排列的个数叫做 从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示. 5、排列数公式 ： = = ( ， ∈ ，且 )． (叫做 的阶乘) 规定 三、组合 1、组合的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素，并成一组，叫做从 个 不同元素中取 出 个元素的一个组合. 2、组合数：从 个不同的元素中取出 ( )个元素的所有组合的个数，用符号 表示. 3、组合数公式： = = = ( ∈ ， ，且 ) 规定 ， 这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算， 注意公式的逆用，即由 = 4、组合数性质：(1) = ;(2) + = 5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合. 四、排列组合综合性问题 1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题 编程 列式 计算 2、编程的一般方法 一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题 缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序 (分类加法，分步 乘法). 【方法讲评】 方法一 简单问题直接法 解题方法 直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答. 【例 1】（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分 配方案有（ ） A． 种 B. 种 C. 种 D. 种 【点评】如果已知条件没有什么限制条件，可以直接利用两个计数原理分步和分类解 答. 【反馈检测 1】2014 年 11 月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式 会议，出席会议的有 21 个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这 21 位领导人或代 表合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在第一排正中间位置， 美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要 求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）． 【反馈检测 2】甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都 空座，则有多少种坐法（ ） A．10 B．16 C．20 D．24 方法二 特殊元素优先法 解题方法 优先考虑一些特殊的元素和位置. 【例 2】由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 种方法，然后排首位共有 种方法，最后排其它位置共有 种方法，由 分步乘法原理得共有 种方法. 【点评】位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元 素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的 要求,再处理其它位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条 件. 【反馈检测 3】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名 志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 方法三 相邻元素捆绑法 解题方法 先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列. 【例 3】七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同 学要站在一起，则不同的排法有______． 【点评】（1）本题中乙、丙要站在一起，所以是相邻问题，所以可以把他们捆在一起， 看做一个整体，捆他们的时候有 种方法.（2） 个元素要在一起，如果与顺序有关，就 有 种方法，如果与顺序无关，就只有 1 种方法.例：把 5 个学生分成两组，三个同学一组 和两个同学一组，就有 种方法. 【反馈检测 4】有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少 不同的装法. 方法四 不相邻问题插空法 解题方法 先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素. 【例 4】一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节 目的出场顺序 有多少种？ 【解析】分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种，第二步将 4 舞蹈插入第 一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共 有 种. 【点评】元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中 间. 【反馈检测 5】马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相 邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 方法五 等概率问题缩倍法 解题方法 先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数. 【例 5】 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法？ 【点评】缩倍法，一般是先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数. 【反馈训练 6】 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可 以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 方法六 至少问题间接法 解题方法 一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法. 【例 6】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各 一台，则不同的取法共有 （ ） A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 【解析】解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型 号的电视机，故不同的取法共有 种,选 . 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 台,选 . 【点评】（1）间接法，一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.（2）使用间 接法时，一般已知中有“至少”“不”等关键词. 【反馈检测 7】从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？ 方法七 平均分组除法法 解题方法 一般先分堆，再除以 . 【例 7】6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？ 【点评】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 ( 为均分的组数)避免重复计数. 【反馈检测 8】某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年 级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为______ 方法八 元素相同问题隔板法 解题方法 将 个相同的元素分成 份（ 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 块隔板，插入 个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数为 . 【例 8】有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 【解析】 因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成９个空隙.在９个 空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共 有 种分法. 【点评】（1）将 个相同的元素分成 份（ 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 块隔板，插入 个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数为 .（2）隔板法 针对的是相同的元素. 【反馈检测 9】某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学生组成， 每班至少一人，名额分配方案共 种 . 方法九 复杂问题分类法 解题方法 由于条件较复杂，常分类讨论. 【例 9】在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴 舞的节目,有多少选派方法 【点评】解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的 连续过程分步，做到标准明确.分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题 过程的始终. 【反馈检测 10】将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的 两端点异色， 如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______. 【反馈检测 11】如图，用四种不同的颜色给图中的 六个点涂色， 要求每个点涂一种颜 色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共（ ）． A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 83 讲： 排列组合常见问题的解法参考答案 【反馈检测 1 答案】 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第 位，则有 种方法，若甲在第 位，则有 种方法，若甲在第 位，则有 种方法，若甲在第 位，则有 种方法，共计 种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有 种方法.故一共有 种方法. 【反馈检测 3 答案】 【反馈检测 3 详细解析】方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法. . 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法 ；若小张、小赵都入选，则 有选法 ，共有选法 36 种，选 . 【反馈检测 4 答案】 . 【反馈检测 4 详细解析】第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 种方法.再把 4 个元 素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 种方法，根据分步计数原理装球的方法共 有 . 【反馈检测 5 答案】 =10 【反馈检测 5 详细解析】把问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的 灯有 =10 种. 【反馈训练 6 答案】 【反馈训练 6 详细解析】 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即 种，选 . 【反馈检测 7 答案】 = 【反馈检测 7 详细解析】这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法.这 十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 ,只含有 1 个偶数 的取法有 ,和为偶数的取法共有 .再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件 的取法共有 = . 【反馈检测 8 答案】 【反馈检测 8 详细解析】由题得安排的方法总数为 【反馈检测 9 答案】 【反馈检测 9 详细解析】此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有 种. 【反馈检测 10 答案】420 【反馈检测 11 答案】 【反馈检测 11 详细解析】首先考虑除 外，相邻两端点不同色的情形：此时 有 种涂 法，与 相邻的点 有 种涂法， 有 种涂法， 有 种涂法，此时， 有 种涂法， 有 种涂法，因此共有 （种）． 但是，这是有可能 同色，且当 同色， 不同色时， 同色．此时的涂 法有同色的 有 种，对于点 ，点 共有 种，由对称性 只有 种涂 法．所以共有 （种）．因此，符合题目要求的涂法有 （种）．故 选 ．