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- 2021-06-16 发布
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第 6 节 空间向量及其运算
考试要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,了解空间向量的正
交分解及其坐标表示;2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示;3.了解空间向量的数量积
及其坐标表示;4.掌握空间两点间的距离公式,会求向量的长度、两向量的夹角.
知 识 梳 理
1.空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为 0 的向量 0
单位向量 长度(模)为 1 的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为-a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在实数 λ,使得 b=λa.
推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是OP→
=OA→
+ta ①
其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上取AB→
=a,则①可化为OP→
=OA→
+t AB→
或OP→
=(1-t)OA→
+tOB→
.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中 x,y∈R,a,b 为不共线向量,推论的表达式
为MP→
=xMA→
+y MB→
或对空间任意一点 O,有OP→
=OM→
+xMA→
+y MB→
或OP→
=xOM→
+yOA→
+zOB→
,其中 x+
y+z=1.
(3)空间向量基本定理
如果向量 e1,e2,e3 是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数
λ1,λ2,λ3,使得 a=λ1e1+λ2e2+λ3e3,空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个
空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA→
=a,OB→
=b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹
角,记作〈a,b〉,其范围是[0,π],若〈a,b〉=
π
2 ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,记作 a·b,即
a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a| a+a+a
夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉=
a1b1+a2b2+a3b3
a+a+a· b+b+b
5.空间两点间的距离公式
空 间 中 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 之 间 的 距 离 |P1P2| =
(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
[常用结论与易错提醒]
1.a·b=0⇔a=0 或 b=0 或〈a,b〉=
π
2 .
2.a·b<0 不等价为〈a,b〉为钝角,因为〈a,b〉可能为 180°;a·b>0 不等价为〈a,b〉
为锐角,因为〈a,b〉可能为 0°.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( )
(2)对任意两个空间向量 a,b,若 a·b=0,则 a⊥b.( )
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则 a,b,c 中至多有一个零向量.( )
(4)若 a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( )
解析 对于(2),因为 0 与任何向量数量积为 0,所以(2)不正确;对于(3),若 a,b,c 中有
一个是 0,则 a,b,c 共面,所以(3)不正确;对于(4),若〈a,b〉=π,则 a·b<0,故(4)
不正确.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB
与 CD 的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
解析 由题意得AB→
=(-3,-3,3),CD→
=(1,1,-1),∴AB→
=-3CD→
,∴AB→
与CD→
共线,又 AB
与 CD 没有公共点.∴AB∥CD.
答案 B
3.(选修 2-1P97A2 改编)如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.
若AB→
=a,AD→
=b,AA→
1=c,则下列向量中与BM→
相等的向量是( )
A.-
1
2a+
1
2b+c B.
1
2a+
1
2b+c
C.-
1
2a-
1
2b+c D.
1
2a-
1
2b+c
解析 由题意,根据向量运算的几何运算法则,BM→
=BB→
1+B1M→
=AA→
1+
1
2(AD→
-AB→
)=c+
1
2(b-a)
=-
1
2a+
1
2b+c.
答案 A
4.(2017·上海卷)如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点,过 D 的三条棱所在的
直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1→
的坐标为(4,3,2),则AC1→
的坐标为________.
解析 A(4,0,0),C1(0,3,2),AC1→
=(-4,3,2).
答案 (-4,3,2)
5.已知 O 为空间中任意一点,A,B,C 三点不共线,且OP→
=
3
4OA→
+
1
8OB→
+tOC→
,若 P,A,B,C 四
点共面,则实数 t=________.
解析 ∵P,A,B,C 四点共面,∴
3
4+
1
8+t=1,∴t=
1
8.
答案
1
8
6.已知 i,j,k 为两两垂直的单位向量,非零向量 a=a1i+a2j+a3k(a1,a2,a3∈R),若向量
a 与向量 i,j,k 的夹角分别为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=________.
解析 设 i,j,k为长方体的共顶点的三条棱的方向向量,因非零向量
a=a1i+a2j+a3k(a1,a2,a3∈R),故 a 可为长方体体对角线的方向向
量,
则 α=∠xEA,β=∠yEA,γ=∠zEA,
所以 cos α=cos∠xEA=cos∠CAE=
AC
AE,
cos β=cos∠yEA=cos∠DAE=
AD
AE,
cos γ=cos∠zEA=cos∠EAB=
AB
AE,
cos2α+cos2β+cos2γ=
AB2+AC2+AD2
AE2 =
AE2
AE2=1.
答案 1
考点一 空间向量的线性运算
【例 1】 如图所示,在空间几何体 ABCD-A1B1C1D1 中,各面为平行四边形,设AA1→
=a,AB→
=b,
AD→
=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:
(1)AP→
;(2)MP→
+NC1→
.
解 (1)因为 P 是 C1D1 的中点,所以AP→
=AA1→
+A1D1→
+D1P→
=a+AD→
+
1
2D1C1→
=a+c+
1
2AB→
=a+c+
1
2b.
(2)因为 M 是 AA1 的中点,所以MP→
=MA→
+AP→
=
1
2A1A→
+AP→
=-
1
2a+(a+c+
1
2b)=
1
2a+
1
2b+c.
又NC1→
=NC→
+CC1→
=
1
2BC→
+AA1→
=
1
2AD→
+AA1→
=
1
2c+a,
所以MP→
+NC1→
=(1
2a+
1
2b+c)+(a+
1
2c)
=
3
2a+
1
2b+
3
2c.
规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要
求.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量
转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
(2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这
个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算.
【训练 1】 如图,三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 AB,OC 的中点,设OA→
=a,OB→
=b,OC→
=c,
用 a,b,c 表示NM→
,则NM→
=( )
A.
1
2(-a+b+c) B.
1
2(a+b-c)
C.
1
2(a-b+c) D.
1
2(-a-b+c)
解析 NM→
=NA→
+AM→
=(OA→
-ON→
)+
1
2AB→
=OA→
-
1
2OC→
+
1
2(OB→
-OA→
)=
1
2OA→
+
1
2OB→
-
1
2OC→
=
1
2(a+b-c).
答案 B
考点二 共线定理、共面定理的应用
【例 2】 已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足OM→
=
1
3(OA→
+OB→
+
OC→
).
(1)判断MA→
,MB→
,MC→
三个向量是否共面;
(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
解 (1)由题意知OA→
+OB→
+OC→
=3OM→
,
所以OA→
-OM→
=(OM→
-OB→
)+(OM→
-OC→
),
即MA→
=BM→
+CM→
=-MB→
-MC→
,
所以MA→
,MB→
,MC→
共面.
(2)由(1)知MA→
,MB→
,MC→
共面且过同一点 M,
所以 M,A,B,C 四点共面.
从而点 M 在平面 ABC 内.
规律方法 (1)证明空间三点 P,A,B 共线的方法
①PA→
=λPB→
(λ∈R);
②对空间任一点 O,OP→
=xOA→
+yOB→
(x+y=1).
(2)证明空间四点 P,M,A,B 共面的方法
①MP→
=xMA→
+yMB→
;
②对空间任一点 O,OP→
=xOM→
+yOA→
+zOB→
(x+y+z=1);
③PM→
∥AB→
(或PA→
∥MB→
或PB→
∥AM→
).
(3)三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共
线、共面来证明.
【训练 2】 (1)若 A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则 m+n=________.
(2)已知空间四点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),D(1,2,t),若四点共面,
则 t 的值为________.
解析 (1)AB→
=(3,-1,1),AC→
=(m+1,n-2,-2).
∵A,B,C 三点共线,∴AB→
∥AC→
,
∴
m+1
3 =
n-2
-1 =
-2
1 ,
∴m=-7,n=4,∴m+n=-3.
(2)AB→
=(1,1,0),AC→
=(-1,0,2),AD→
=(3,2,t-2),
∵A,B,C,D 四点共面,∴AB→
,AC→
,AD→
共面.
设AD→
=xAB→
+yAC→
,
即(3,2,t-2)=(x-y,x,2y),
则{x-y=3,
x=2,
2y=t-2,
解得{x=2,
y=-1,
t=0.
∴t 的值为 0.
答案 (1)-3 (2)0
考点三 空间向量数量积及其应用
【例 3】 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三
条棱长度都为 1,且两两夹角为 60°.
(1)求 AC1 的长;
(2)求BD1→
与AC→
夹角的余弦值.
解 (1)记AB→
=a,AD→
=b,AA1→
=c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
所以 a·b=b·c=c·a=
1
2.
|AC1→
|2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×(1
2+
1
2+
1
2)
=6,
所以|AC1→
|= 6,即 AC1 的长为 6.
(2)BD1→
=b+c-a,AC→
=a+b,
所以|BD1→
|= 2,|AC→
|= 3,
BD1→
·AC→
=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1,
所以 cos〈BD1→
,AC→
〉=
BD1→
·AC→
|BD1→
||AC→
|
=
6
6 .
即BD1→
与AC→
夹角的余弦值为
6
6 .
规律方法 利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计
算;二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0;
(2)|a|= a2;
(3)cos〈a,b〉=
a·b
|a||b|.
【训练 3】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,MN 是其内切球 O 的一条直径,E 是正方体表面
上一点,求EM→
·EN→
的最大值.
解 由极化恒等式的三角形形式得
EM→
·EN→
=
1
4[(2EO→
)2-MN→
2].
又因为 MN 是其内切球 O 的一条直径,E 是正方体表面上的动点,所以|MN→
|=2,|EO→
|≤ 3,
所以EM→
·EN→
=
1
4[(2EO→
)2-4]≤2,
所以EM→
·EN→
的最大值为 2.
基础巩固题组
一、选择题
1.已知向量 a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且 a∥b,则实数 m 的值等于( )
A.
3
2 B.-2
C.0 D.
3
2或-2
解析 ∵a∥b,∴
2m+1
2 =
3
m=
m-1
-m ,解得 m=-2.
答案 B
2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈CM→
,D1N→
〉的值为( )
A.
1
9 B.
4 5
9
C.
2 5
9 D.
2
3
解析 如图,设正方体棱长为 2,则易得CM→
=(2,-2,1),D1N→
=(2,
2,-1),∴cos〈CM→
,D1N→
〉
=
CM→
·D1N→
|CM→
||D1N→
|
=-
1
9,又〈CM→
,D1N→
〉∈[0,π],
∴sin〈CM→
,D1N→
〉= 1-(-
1
9 ) 2
=
4 5
9 .
答案 B
3.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( )
A.-1 B.
4
3
C.
5
3 D.
7
5
解析 由题意得 ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-
1)+2k-2×2=5k-7=0,解得 k=
7
5.
答案 D
4.已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等,E 是 BC 的中点,那么( )
A.AE→
·BC→
<AE→
·CD→
B.AE→
·BC→
=AE→
·CD→
C.AE→
·BC→
>AE→
·CD→
D.AE→
·BC→
与AE→
·CD→
的大小不能比较
解析 取 BD 的中点 F,连接 EF,则 EF 綉
1
2CD,因为〈AE→
,EF→
〉=〈AE→
,CD→
〉>90°,因为
AE→
·BC→
=0,∴AE→
·CD→
<0,所以AE→
·BC→
>AE→
·CD→
.
答案 C
5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则
AE→
·AF→
的值为( )
A.a2 B.
1
2a2
C.
1
4a2 D.
3
4 a2
解析 如图,设AB→
=a,AC→
=b,AD→
=c,
则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°.
AE→
=
1
2(a+b),AF→
=
1
2c,
∴AE→
·AF→
=
1
2(a+b)·
1
2c
=
1
4(a·c+b·c)
=
1
4(a2cos 60°+a2cos 60°)=
1
4a2.
答案 C
6.如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平
行六面体的各棱长均相等,则:
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面 DCC1D1;
④A1M∥平面 D1PQB1.
以上说法正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 A1M→
=A1A→
+AM→
=A1A→
+
1
2AB→
,D1P→
=D1D→
+DP→
=A1A→
+
1
2AB→
,∴A1M→
∥D1P→
,所以 A1M∥D1P,又 D1P⊂
平面 DCC1D1,D1P⊂平面 D1PQB1,A1M⊄平面 DCC1D1,A1M⊄平面 D1PQB1,由线面平行的判定定理可
知,A1M∥平面 DCC1D1,A1M∥平面 D1PQB1.①③④正确.
答案 C
二、填空题
7.已知 2a+b=(0,-5,10), c=(1,-2,-2), a·c=4,|b|=12,则 b,c 的夹角为
________.
解析 由题意得(2a+b)·c=0+10-20=-10.
即 2a·c+b·c=-10,又∵a·c=4,∴b·c=-18,
∴cos〈b,c〉=
b·c
|b|·|c|=
-18
12 × 1+4+4=-
1
2,
0°≤〈b,c〉≤180°,
∴〈b,c〉=120°.
答案 120°
8.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),a 与 b 夹角的余弦值为________;若 a⊥(a-λb),
则 λ=________.
解析 ∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),∴cos〈a,b〉=
a·b
|a||b|=
2+2+3
14 × 6=
21
6 ;
由题意 a·(a-λb)=0,即 a2-λa·b=0,又 a2=14,a·b=7,∴14-7λ=0,∴λ=2.
答案
21
6 2
9.已知AB→
=(1,5,-2), BC→
=(3,1, z),若AB→
⊥BC→
,BP→
=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面
ABC,则 x=________,y=________,z=________.
解析 由条件得{3+5-2z=0,
x-1+5y+6=0,
3(x-1)+y-3z=0,
解得 x=
40
7 ,y=-
15
7 ,z=4.
答案
40
7 -
15
7 4
10.设 A1,A2,A3,A4,A5 是空间中给定的 5 个不同的点,则使 =0 成立的点 M 的个数有
5
1k=
∑
________.
解析 设 M(a,b,c),Ak(xk,yk,zk)(k=1,2,3,4,5).
则MAk→
=(xk-a,yk-b,zk-c),
∴由 MAk→
=0 得{x1+x2+x3+x4+x5-5a=0,
y1+y2+y3+y4+y5-5b=0,
z1+z2+z3+z4+z5-5c=0,
∴{a=
1
5(x1+x2+x3+x4+x5),
b=
1
5(y1+y2+y3+y4+y5),
c=
1
5(z1+z2+z3+z4+z5),
∴存在唯一点 M.
答案 1
三、解答题
11.如图,已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′.试用AC→
′表示AC→
+AB→
′+AD→
′.
解 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,
∴在▱ABCD 中,AC→
=AB→
+AD→
,
在▱ABB′A′中,AB→
′=AB→
+AA→
′,
在▱ADD′A′中,AD→
′=AD→
+AA→
′,
∴AC→
+AB→
′+AD→
′=(AB→
+AD→
)+(AB→
+AA→
′)+(AD→
+AA→
′)=2(AB→
+AD→
+AA′→
).
又∵在▱ABCD 中,AD→
=BC→
,
在▱ACC′A′中,AA→
′=CC→
′,
∴AB→
+AD→
+AA→
′=AB→
+BC→
+CC→
′=AC→
′,
∴AC→
+AB→
′+AD→
′=2AC→
′.
12.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB→
,b=AC→
.
5
1k=
∑
(1)若|c|=3,且 c∥BC→
,求向量 c.
(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值.
解 (1)∵c∥BC→
,BC→
=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),
∴c=mBC→
=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),
∴|c|= (-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3,
∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).
(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,
又∵|a|= 12+12+02= 2,
|b|= (-1)2+02+22= 5,
∴cos〈a,b〉=
a·b
|a|·|b|=
-1
10=-
10
10 ,
即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为-
10
10 .
能力提升题组
13.在空间四边形 ABCD 中,AB→
·CD→
+AC→
·DB→
+AD→
·BC→
=( )
A.-1 B.0
C.1 D.不确定
解析 如图,令AB→
=a,AC→
=b,AD→
=c,则AB→
·CD→
+AC→
·DB→
+AD→
·BC→
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
答案 B
14.若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量 p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫向量 p 在基底{a,
b,c}下的坐标.
已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量 p 在基底
{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是( )
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
解析 设 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z).则
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
因为 p 在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
∴p=4a+2b+3c,②
由①②得{x+y=4,
x-y=2,
z=3,
∴{x=3,
y=1,
z=3,
即 p 在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).
答案 B
15.已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA→
=(1,2,3),OB→
=(2,1,2),OP→
=(1,1,
2),且点 Q 在直线 OP 上运动,当QA→
·QB→
取得最小值时,OQ→
的坐标是__________.
解析 ∵点 Q 在直线 OP 上,∴设点 Q(λ,λ,2λ),
则QA→
=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB→
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
QA→
·QB→
=(1- λ)(2- λ)+(2- λ)(1- λ)+(3-2 λ)(2-2 λ)=6 λ2 -16λ+10=6
(λ-
4
3) 2
-
2
3.
即当 λ=
4
3时,QA→
·QB→
取得最小值-
2
3.
此时OQ→
=(4
3,
4
3,
8
3).
答案 (4
3,
4
3,
8
3)
16.已知空间向量PA→
,PB→
,PC→
的模长分别为 1,2,3,且两两夹角均为 60°.点 G 为△ABC 的重
心,若PG→
=xPA→
+yPB→
+zPC→
,x,y,z∈R,则 x+y+z=________.|PG→
|=________.
解析 因为 A,B,C,G 四点共面,所以 x+y+z=1,则 z=1-x-y,PG→
=PA→
+AG→
=PA→
+
1
3(AB→
+AC→
)=PA→
+
1
3[(PB→
-PA→
)+(PC→
-PA→
)]=
1
3PA→
+
1
3PB→
+
1
3PC=
1
3(PA→
+PB→
+PC→
),∴x=y=z=
1
3,|PG→
|=
1
3 PA→
+PB→
+PC→
)2
=
1
3× |PA→
|2+|PB→
|2 + |PC→
|2 + 2PA→
·PB→
+ 2PA→
·PC→
+ 2PB→
·PC→
=
5
3.
答案 1
5
3
17.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF
=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz.
(1)写出点 E,F 的坐标;
(2)求证:A1F→
⊥C1E→
;
(3)若 A1,E,F,C1 四点共面,求证:A1F→
=
1
2A1C1→
+A1E→
.
(1)解 E(a,x,0),F(a-x,a,0).
(2)证明 ∵A1(a,0,a),C1(0,a,a),
∴A1F→
=(-x,a,-a),C1E→
=(a,x-a,-a),
∴A1F→
·C1E→
=-ax+a(x-a)+a2=0,
∴A1F→
⊥C1E→
.
(3)证明 ∵A1,E,F,C1 四点共面,
∴A1E→
,A1C1→
,A1F→
共面.
选A1E→
与A1C1→
为在平面 A1C1E 上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使A1F→
=λ1A1C1→
+
λ2A1E→
,
即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)
=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),
∴{-x=-aλ1,
a=aλ1+xλ2,
-a=-aλ2,
解得 λ1=
1
2,λ2=1.
于是A1F→
=
1
2A1C1→
+A1E→
.
18.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,
AD,CD 的中点,计算:
(1)EF→
·BA→
;(2)EG→
的长;
(3)AG→
与CE→
所成角的余弦值.
解 设AB→
=a,AC→
=b,AD→
=c.
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
(1)EF→
=
1
2BD→
=
1
2c-
1
2a,BA→
=-a,
EF→
·BA→
=(1
2c-
1
2a)·(-a)=
1
2a2-
1
2a·c=
1
4,
(2)EG→
=EB→
+BC→
+CG→
=
1
2a+b-a+
1
2c-
1
2b
=-
1
2a+
1
2b+
1
2c,
|EG→
|2=
1
4a2+
1
4b2+
1
4c2-
1
2a·b+
1
2b·c-
1
2c·a=
1
2,则|EG→
|=
2
2 .
(3)AG→
=
1
2b+
1
2c,CE→
=CA→
+AE→
=-b+
1
2a,
cos〈AG→
,CE→
〉=
AG→
·CE→
|AG→
||CE→
|
=-
2
3.
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