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第6节 双曲线
考试要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若ac，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[常用结论与微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.
解析 设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
3.(老教材选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
答案 6
4.(2019·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝( )
A. B.4 C.2 D.
解析 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A. B. C. D.
解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
答案 B
6.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)(2020·合肥质检)－＝4表示的曲线方程为( )
A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2) D.－＝1(y≥2)
(2)(2019·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3
解析 (1)的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2)，故选C.
(2)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案 (1)C (2)B
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】 (1)(2020·郑州一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由题意知2a＝6，则a＝3，又由＝得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0).根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案 (1)B (2)x2－＝1(x≤－1)
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(一题多解)(2020·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2019·洛阳二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为( )
A.x2－y2＝1 B.－＝1
C.x2－＝1 D.－＝1
解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将(2，1)代入可得－＝1，由得故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，将(2，1)代入方程可得，4m－n＝1.①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，
由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，即＝3，②
由①②可得m＝，n＝，所以该双曲线的标准方程为－＝1，故选A.
(2)∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴|PF1|＋|PF2|＝4c.
∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，
∴cos ∠PF2F1＝＝，又点P(2，)在双曲线上，
∴sin ∠PF2F1＝，∴＋＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，又－＝1，∴a2＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，故选A.
答案 (1)A (2)A
规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2019·昆明调研)“00，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±y＝0 B.2x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝，即＝，
∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选C.
答案 C
规律方法 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答.
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】 (2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
答案 A
规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
角度3 双曲线几何性质的综合应用
【例3－3】 (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·太原模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝( )
A.1 B. C. D.
解析 (1)因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是( )
A.(0，2) B.(1，3]
C.[2，3) D.[3，＋∞)
(3)(角度3)(2019·长沙统一考试改编)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为________.
解析 (1)因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝2a＋|PF2|，
∴＝＝＝＋|PF2|＋4a≥2＋4a＝8a，当且仅当|PF2|＝，即|PF2|＝2a时，等号成立.
∵的最小值为8a，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
∵点P在双曲线右支上，∴|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，当且仅当P，F1，F2三点共线且点P
为右顶点时等号成立，即6a≥2c，∴e≤3，又∵e>1，∴e∈(1，3]，故选B.
(3)设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，)，F2(0，－)，所以|F1F2|＝2，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x＋y＝2.由得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝|F1F2|·|x0|＝×2×1＝.
答案 (1)B (2)B (3)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案 B
2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 A
3.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A.2sin 40° B.2cos 40°
C. D.
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝＝＝.故选D.
答案 D
4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
解析 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
答案 D
5.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________.
解析 由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，
所以双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
10.(多填题)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.
解析 由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
答案 1 2
11.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________.
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
即－＝1.
答案 －＝1
12.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，
代入双曲线方程解得B.
∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·2·＝.
答案
B级 能力提升
13.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，2] B.[2，＋∞)
C.(1，] D.[，＋∞)
解析 当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以＝(＋)；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，所以4||≤2c，由||≥a，可知4a≤2c，则e≥2，选B.
答案 B
14.(2020·石家庄模拟改编)已知双曲线C：－＝1(b>0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|的值为________.
解析 由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16.
答案 16
15.(2020·南昌联考)点P是椭圆＋＝1(a1>b1>0)和双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2＝，则的值是________.
解析 不妨设P是第一象限内的交点，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可知m＋n＝2a1，①
由双曲线定义可知m－n＝2a2，②
由①②得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论可得，
cos ∠F1PF2＝＝，
即m2＋n2－mn＝4c2，
∴(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，
即a＋3a＝4c2，又知a－b＝c2，a＋b＝c2，
∴b＋c2＋3(c2－b)＝4c2，∴b＝3b，
又知b1>0，b2>0，∴＝.
答案
16.(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.
解析 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图.
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案 2
C级 创新猜想
17.(多填题)(2020·昆明诊断改编)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)，则△APF周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________.
解析 设双曲线的左焦点为F1，连接PF1.由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0).当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小.由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示).|AF1|＝|AF|＝15，故△APF
周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12.
答案 32 12
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