新教材数学人教B版必修第二册课件：6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 6-3-3 平面向量加、减运算的坐标表示 37页

精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 第 一 篇 教 材 过 关 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 　　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作 为基底,任作一向量  . 问题1:根据平面向量基本定理,有  =xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗? OA  OA  情景导学 精读教材·必备知识 答案　相同. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 问题2:如果向量  也用(x,y)表示,那么向量  与实数对(x,y)之间是否一一 对应? OA  OA  答案　一一对应. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个互相① 的向量,叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示: 垂直 教材研读 前提 设与x轴、y轴方向相同的两个② 向量分别 为i,j,取{i,j}作为③ 线性表示 对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本 定理可知,④ 一对实数x,y,使得a=xi+yj 坐标表示 把有序数对⑤ 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) 特殊坐标 i=⑥ ,j=⑦ ,0=(0,0) 单位 基底 有且只有 (x,y) (1,0) (0,1) 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 特别提醒 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 (1)联系:当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标. (2)区别:①点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和 方向,而向量与位置无关. ②(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以 表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y)或向量(x,y). 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 提示　若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a=b⇔  1 2 1 2 , . x x y y    思考:两个向量相等用坐标如何表示? 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.平面向量的坐标及运算 文字描述 符号表示 点 A(x1,y1),B(x2,y2) 向量 坐标 一个向量的坐标等于表示此向 量的有向线段的终点B的坐标 减去起点A的坐标   = ⑧ AB  (x2-x1,y2-y1) 向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2) 加法 两个向量和的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和 a+b= ⑨ 减法 两个向量差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的差 a-b= ⑩ (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　平面向量的坐标表示 互动探究·关键能力 例1　(1)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,则给出下列结论 正确的有  (　　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 (2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点 D的坐标以及  与  的坐标.AB  AD  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)由平面向量基本定理,知A正确;例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误; 因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;当a的终 点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误. (2)由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1,y1),D(x2,y2). 由三角函数的定义,得x1=cos 30°= ,y1=sin 30°= ,x2=cos 120°=- , y2=sin 120°= , 3 2 1 2 1 2 3 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴B  ,D  ,又A(0,0), ∴  =  ,  =  . 3 1, 2 2       1 3- , 2 2       AB  3 1, 2 2       AD  1 3- , 2 2       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标时,首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终 点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形.OA=4,AB=3, ∠AOx=45°,∠OAB=105°,  =a,  =b. OA  AB  (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量  的坐标. BA  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)如图,作AM⊥x轴于点M,   则OM=OA·cos 45°=4× =2  ,AM=OA·sin 45°=4× =2  , ∴A(2  ,2  ),故a=(2  ,2  ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∵∠AOC=180°-105°=75°, ∠AOy=45°, ∴∠COy=30°,又OC=AB=3, 易知C  , ∴  =  =  , 即b=  . 3 3 3- , 2 2       AB  OC  3 3 3- , 2 2       3 3 3- , 2 2       (2)  =-  =  .BA  AB  3 3 3,- 2 2       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　平面向量的坐标运算 例2　(1)设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量, 且  =4i+2j,  =3i+4j,  =  ,则C点的坐标为  (　　) A.(-2,1)　 B.(1,-2) C.(2,-1)　 D.(-1,2) (2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量  +  =　　　 ,  -  =　　　 . OA  OB  OC  AB  AB  CA  BC  AB  D (5,4) (-6,-9) 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)由题意可知  =  -  =-i+2j.∵  =  ,∴  =-i+2j,∴C(-1,2). (2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0), ∴  =(1,5),  =(4,-1),   =(-5,-4), ∴  +  =(1,5)+(4,-1)=(1+4,5-1)=(5,4), AB  OB  OA  OC  AB  OC  AB  CA  BC  AB  CA    -  =(-5,-4)-(1,5)=(-5-1,-4-5)=(-6,-9).BC  AB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标 运算. (3)向量加、减坐标运算可完全类比数的运算进行. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1　已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且  =  ,  =  ,求点M,N及  的坐标.CM  CA  CN  CB  MN  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　∵A(-2,4),B(3,-1), C(-3,-4), ∴  =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),   =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). 设M(x1,y1),N(x2,y2), ∵  =  ,  =  , ∴(x1+3,y1+4)=(1,8),(x2+3,y2+4)=(6,3), ∴x1=-2,y1=4,x2=3,y2=-1, CA  CB  CM  CA  CN  CB  ∴M(-2,4),N(3,-1), ∴  =(3,-1)-(-2,4)=(5,-5).MN  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究三　平面向量加、减运算的应用 例3 (易错题)已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设  =a,  =b,  =c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量  ,  的坐标. OA  OB  OC  AB  BC  解析　建立如图所示的平面直角坐标系. 因为|  |=|b|=1,∠AOB=150°,所以B(-cos 30°,sin 30°),OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以B  . 因为|  |=|c|=3,∠BOC=90°, 所以C(-3sin 30°,-3cos 30°), 所以C  , 所以  =  -  =  , 3 1- , 2 2       OC  3 3 3- ,- 2 2       BC  3 3 3- ,- 2 2       3 1- , 2 2       3-3 3 3 1,- - 2 2 2       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易知A(2,0), 所以  =  -(2,0)=  .AB  3 1- , 2 2       3 1- -2, 2 2       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易错点拨 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向,与终点坐标无关,只有当向量 的始点是坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标才是一致的. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 3-1　已知平面上三个点A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点D的坐标,使得这四个点为构 成平行四边形的四个顶点. 解析　设点D的坐标为(x,y), ①当四边形ABCD为平行四边形时,  =  , ∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), AB  DC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 即(1,-1)=(1-x,-2-y), ∴  解得  ∴D(0,-1); ②当四边形ABDC为平行四边形时,同①可得D(2,-3); ③当四边形ADBC为平行四边形时,同①可得D(6,15). 综上所述,点D的坐标可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15). 1- 1, -2- -1, x y    0, -1, x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a+b=  (　　) A.(1,6)　 B.(5,4) C.(1,-6)　 D.(-6,5) 课堂检测 评价检测·素养提升 解析 a+b=(3,5)+(-2,1)=(3-2,5+1)=(1,6). A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.已知向量  =(1,-2),  =(-3,4),则  =  (　　) A.(-4,6)　 B.(2,-3) C.(2,3)　 D.(6,4) OA  OB  AB  解析   =  -  =(-3,4)-(1,-2)=(-4,6).AB  OB  OA  A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3.若向量  =  =(2,0),  =(1,1),则  +  等于  (　　) A.(3,1)　 B.(4,2) C.(5,3)　 D.(4,3) AB  DC  AD  AC  BC  解析   =  +  =(3,1),  =  -  =(-1,1),  =  +  =(1,1),所以  +   =(4,2). AC  AD  DC  BD  AD  AB  BC  BD  DC  AC  BC  B 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.如图,向量a,b,c的坐标分别是　　　 ,　　　 ,　　　 .   (-4,0) (0,6) (-2,-5) 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　将各向量分别向基底i,j所在直线分解, 则a=-4i+0·j,∴a=(-4,0);b=0·i+6j, ∴b=(0,6);c=-2i-5j,∴c=(-2,-5). 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 5.已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分 别作出向量  ,  ,  ,并求向量  ,  ,  的坐标. AC  BD  EF  AC  BD  EF  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图,描出点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),分别作出向量   ,  ,  .易知  =(2,4),  =(-3,4),  =(-3,-4).   AC  BD  EF  AC  BD  EF  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 直观想象——向量的加、减运算 在△ABC中,点D满足  =2  -  ,则  (　　) A.点D不在直线BC上　 B.点D在BC的延长线 C.点D在线段BC上　 D.点D在CB的延长线上   AD  AB  AC  素养演练 D 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析   =2  -  =  +  -  =  +  , 如图,作  =  ,连接AD', 则  +  =  +  =  =  , ∴D'和D重合, ∴点D在CB的延长线上. 故选D. AD  AB  AC  AB  AB  AC  AB  CB  'BD  CB  AB  CB  AB  'BD  'AD  AD  素养探究:向量的加减运算借助图像会使问题更简洁,从而培养直观想象核心 素养. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 　平面上有三点A,B,C,设m=  +  ,n=  -  ,若m,n的长度恰好相等,则有  (　　) A.A,B,C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 AB  BC  AB  BC  C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　如图,作▱ ABCD,   则  +  =  ,   -  =  -  =  , 因为|m|=|n|, 所以|  |=|  |, 所以▱ ABCD为矩形, AB  BC  AC  AB  BC  AB  AD  DB  AC  DB  所以△ABC必为直角三角形, 且∠ABC=90°.