【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第六章　第3讲　等比数列及其前n项和作业 5页

第3讲　等比数列及其前n项和 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·河南六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)‎ A．16　　　 B．15　　 　　‎ C．8　　　 　 D．7‎ 解析：选B.设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.‎ ‎2．(2020·陕西五校联考)各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，所以log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.‎ ‎3．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式an＝(　　)‎ A．2n－1 B．2n－1‎ C．2n－1 D．2n＋1‎ 解析：选B.当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，‎ 因此an＝2n－1，故选B.‎ ‎4．(2020·长春市质量监测(一))已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.法一：由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝＝63a1，所以＝＝，故选A.‎ 法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5‎ ‎＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，故选A.‎ ‎5．(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为(　　)‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 解析：选C.记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝的等比数列，‎ 由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，‎ 所以a6＝192×＝6，故选C.‎ ‎6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝ ．‎ 解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.‎ 优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·陕西第二次质量检测)公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝ ．‎ 解析：等比数列{an}的各项都是正数，且公比为，a2a12＝16，‎ 所以a1qa1q11＝16，即aq12＝16，‎ 所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，则log2a15＝log226＝6.‎ 答案：6‎ ‎8．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ；‎ a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)＝ ．‎ 解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8，公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×＝＝×.‎ 答案：an＝4×　× ‎9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.‎ 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.‎ 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.‎ 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.‎ ‎(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.‎ 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．‎ 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.‎ 综上，m＝6.‎ ‎10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3的值；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．‎ 解：(1)由条件可得an＋1＝an.‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4，‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12，‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·河南郑州三测)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　)‎ A.×(310－1) B.×(910－1)‎ C.×(279－1) D．×(2710－1)‎ 解析：选D.因为an＋1－an＝＝3，‎ 所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，‎ 所以ban＝33n－3＝27n－1，‎ 所以{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，‎ 所以{ban}的前10项和为＝×(2710－1)，故选D.‎ ‎2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝2(n2＋n)，若bn＝2，则{bn}的前n项和Sn＝ ．‎ 解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2(n2＋n)，得－＝2，又a1＝2，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n2，所以bn＝2＝4n，所以数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，所以Sn＝＝.‎ 答案： ‎3．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．‎ 解：(1)由a2＝2，S3＝7得 解得或(舍去)‎ 所以an＝4·＝.‎ ‎(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8＜8.‎ 因为an＞0，所以Sn是增加的．‎ 又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7，8)．‎ 又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.‎ ‎4．(2020·河南蚌埠二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，‎ 所以an＝3n－1，Sn＝＝.‎ ‎(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，‎ 因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，‎ 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，‎ 故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．‎