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  • 2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

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4.3  对  数 4.3.1  对数的概念 必备知识 · 自主学习 导思 1. 在指数运算 1.11 x =2 中,怎样计算指数 x ? 2. 对数有哪些性质? 1. 对数的概念 (1) 定义: 一般地,如果 a x =N(a>0 ,且 a≠1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=_____ ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数 . (2) 特殊对数: 常用对数:以 10 为底,记作 _____ ;  自然对数:以 e 为底,记作 _____.  log a N lg N ln N (3) 指数与对数的关系: 当 a>0 , a≠1 时, a x =N⇔_______. x=log a N 【 思考 】 对数式 log a N 是不是 log a 与 N 的乘积? 提示: 不是, log a N 是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结果是一个实数 . 2. 对数的性质 (1) 负数和 0 没有 对数; (2)log a 1=__ ; (3)log a a=__. 0 1 【 思考 】 你能否推导出对数的性质 (2)(3) ? 提示: 因为 a 0 =1 ,所以 log a 1=0 ; 因为 a 1 =a ,所以 log a a=1. 3. 对数恒等式: =__. 【 思考 】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系? 提示: 指数的底数与对数的底数相等 . N 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 因为 (-4) 2 =16 ,所以 log (-4) 16=2. (    ) (2) 因为 3 x =81 ,所以 log 81 3=x. (    ) (3)log 2 3=log 3 2. (    ) 提示: (1) × . 对数的底数不能为负值 . (2) × . 应为 log 3 81=x. (3) × .log 2 3≠log 3 2 ,两个是不同的对数值 . 2. 把对数式 x=log 2 32 改写为指数式 _______.  【 解析 】 对数式 x=log 2 32 改写为指数式为 2 x =32. 答案: 2 x =32 3.( 教材二次开发:练习改编 ) 若 ln e -2 =-x ,则 x=_______.  【 解析 】 因为 ln e -2 =-x ,所以 e -x =e -2 ,所以 x=2. 答案: 2 关键能力 · 合作学习 类型一 对数的概念及应用 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1) ,则 (    )                    A.log a b=2 020 B.log b a=2 020 C.log 2 020 a=b D.log 2 020 b=a 2. 在 M=log (x-3) (x+1) 中,要使式子有意义, x 的取值范围为 (    ) A.(-∞ , 3] B.(3 , 4)∪(4 , +∞) C.(4 , +∞) D.(3 , 4) 3.( 多选题 ) 下列指数式与对数式的互化中,正确的是 (    ) A.10 0 =1 与 lg 10=1 B. 与 C.log 3 9=2 与 =3 D.log 5 5=1 与 5 1 =5 【 解析 】 1. 选 A. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1) , 则 2 020=log a b. 2. 选 B. 由函数的解析式可得 解得 34. 3. 选 BD. 在 A 中, 10 0 =1⇔lg 1=0 ,故 A 错误; 在 B 中, ⇔ log 27 ,故 B 正确; 在 C 中, log 3 9=2⇔3 2 =9 ,故 C 错误; 在 D 中, log 5 5=1⇔5 1 =5 ,故 D 正确 . 【 解题策略 】 关于指数式的范围  利用式子 log a b⇒ 求字母的范围 . 【 补偿训练 】 在 b=log a (5-a) 中,实数 a 的取值范围是 (    )                    A.a>5 或 a<0 B.00 , 所以 x= ,所以 ② 正确; 由 log 10 100=x 得, 10 x =100. 所以 x=2 ,所以 ③ 错误; 由 -ln e 2 =x 得, x=-2 ,所以 ④ 正确; 所以正确的题号是 ②④ . 角度 2  对数性质的应用  【 典例 】 已知 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=0 ,则 x+y=_______.  【 思路导引 】 由外向内求出 x , y 后求和 . 【 解析 】 由题意可得 log 4 (log 3 x)=1 ,所以 log 3 x=4 ,所以 x=3 4 =81 ;同理可得 log 4 (log 2 y)=1 ,所以 log 2 y=4 , 所以 y=2 4 =16 ,所以 x+y=97. 答案: 97 【 变式探究 】 将等式变为 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=1 ,试求 x+y. 【 解析 】 由题意, log 4 (log 3 x)=2 ,得 log 3 x=16 ,得 x=3 16 ; log 4 (log 2 y)=3 , 得 log 2 y=64 ,得 y=2 64 . 所以 x+y=3 16 +2 64 . 【 解题策略 】 1. 关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系: 2. 对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层,解题方法是利用对数的性质,从外向里逐层求值 . 【 题组训练 】 1.(2020· 乌鲁木齐高一检测 ) 设 m=log a 3 , log a π=n ,则 a 2m-n = (    ) 【 解析 】 选 C. 因为 m=log a 3 , log a π =n. 所以 a m =3 , a n = π . 所以 a 2m-n = 2. 计算 log 3 [log 3 (log 2 8)] 等于 (    ) A.1 B.16 C.4 D.0 【 解析 】 选 D. 令 log 2 8=x ,则 2 x =8 ,所以 x=3. 所以 log 3 [log 3 (log 2 8)]=log 3 [log 3 3]=log 3 1=0. 【 补偿训练 】 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0 ,则 x= (    )                   A.2 B.4 C.1 D. 【 解析 】 选 B. 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0 , 则 log 2 (log 2 x)=1 ,则 log 2 x=2 ,解得: x=4. 类型三 对数恒等式的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1. (    )                   2. 若 x=log 4 3 ,则 2·4 x +4 -x =_______.  【 思路导引 】 1. 先利用指数运算性质拆分,再利用对数恒等式求值 . 2. 利用指数对数互化表示出 x ,再代入利用对数恒等式求值 . 【 解析 】 1. 选 A. 2. 由 x=log 4 3 , 则 2·4 x +4 -x =2· =2 × 3+ 答案: 【 解题策略 】 关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形,变形为 的形式,再利用对数恒等式计算 求值 . 【 跟踪训练 】 (2020 · 绍兴高一检测 ) 若 a=log 2 3 ,则 2 a +2 -a =_______.   【 解析 】 因为 a=log 2 3 ,所以 2 a +2 -a = =3+ 答案: 课堂检测 · 素养达标 1. +log 2 2 等于 (    ) A. B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 D. 原式 =4+1=5. 2.(2020· 杭州高一检测 ) 已知 log x 8=3 ,则 x 的值为 (    ) A. B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 因为 log x 8=3 ,所以 x 3 =8 ,解得 x=2. 3.( 教材二次开发:练习改编 ) 若 10 m = ,则 m=_______.  【 解析 】 因为 10 m = ,则 m=lg . 答案: lg 4.ln(lg 10)=_______.  【 解析 】 ln(lg 10)=ln 1=0. 答案: 0 5. 若对数 ln(x 2 -5x+6) 存在,则 x 的取值范围为 _______.  【 解析 】 因为对数 ln(x 2 -5x+6) 存在, 所以 x 2 -5x+6>0 ,所以解得 x>3 或 x<2 , 即 x 的取值范围为: (- ∞ , 2)∪(3 , + ∞ ). 答案: (- ∞ , 2)∪(3 , + ∞ ) 对数的概念 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 变形:对于不能够直接应用对数恒等式求解的情况,需借助指数幂的运算性质进行变形 对数式与指数式互化时,注意字母的位置的变化 对数式的书写要规范,特别是底数的书写 逻辑推理:通过对数概念的形成,培养逻辑推理的核心素养 数学运算:通过对数的运算及对数性质的运用,培养数学运算的核心素养 概念 对数恒等式 性质