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- 2021-06-16 发布
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铁人中学2018级高三学年上学期期中考试
数学试题(文科)
试题说明:1、本试题满分 150 分,答题时间 120 分钟。
2、 请将答案填写在答题卡上,考试结束后只交答题卡。
一、选择题(每小题只有一个选项正确,每小题5分, 共60分)
1.复数的共轭复数是( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
2.已知集合,函数的定义域为集合,则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列中,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数是定义在上的奇函数,当时,,则的值为( ).
A.2 B. C. D.
5.若变量x,y满足约束条件,则z=x-2y的最大值为
A.2 B.4 C.3 D.1
6.函数y=1-的图象是( )
7.已知,,,则( )
A. B. C. D.
8.已知某几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
第8题图
9.已知函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知向量=(1,a),=(2b﹣1,3)(a>0,b>0),若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示,为了得到的图象,可以将的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
第11题图
12. 给出下面四个推理:
①由“若,是实数,则”推广到复数中,则有“若是复数,则”;
②由“在半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中,正方体的体积最大”;
③以半径R为自变量,由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”;
④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”.
其中,推理得到的结论是正确的个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知,命题“存在,使”为假命题,则的取值范围为______.
14.曲线:在点处的切线方程为_______________.
15.若,则__________.
16.已知函数对任意的,都有,函数是奇函数,当时,,则方程在区间内的所有零点之和_____________.
三、解答题 (共70分)
17. (本小题满分10分)已知是数列的前项和,满足
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,求外接圆的半径.
19.(本小题满分12分)已知等差数列的前n项和为,,,数列的前n项和为.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
20.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求在区间上的值域;
(2)若,且,求的值.
21.(本小题满分12分)已知点是椭圆
上的一点,椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数,斜率为直线交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若,,分别为直线AB,AD的斜率,求证:为定值.
22.(本小题满分12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时, ,求的取值范围.
2018级高三上学期期中考试数学(文科)试题参考答案
1.A. 2.B. 3.A.4.C 5.C 6.B 7.C. 8.B. 9.D.10.B.11.A.12.C
13. 14.y=2x﹣e 15. 16.4
17. ,【解题思路】,所以
,故的前项和.
18.(1)由正弦定理知
有,所以(6分)
所以(12分)
19.【解析】(1)∵,即,
又∵,解得,
所以,
∵的前n项和
∴时,
时,
∴();
(2),
,
,
所以,
.
20.【答案】(1);(2).
【解析】(1)
.
因为,所以,
所以.
故在区间上的值域是.
(2)由,知,
又因为,所以.
故
.
21. 【分析】(1)设椭圆的焦距为2c,利用椭圆的离心率,椭圆经过的点以及a2=b2+c2,求出a,b即可得到椭圆方程.
(2)设直线BD的方程为,m≠0,设D(x1,y1),B(x2,y2),联立,得,利用韦达定理,转化求解直线AB,AD的斜率的和推出结果即可.
【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,则椭圆的离心率,
代入,得,
又a2=b2+c2,
解得a=2,,
所以椭圆C的方程;
(2)证明:设直线BD的方程为,
又A,B,D三点不重合,∴m≠0,
设D(x1,y1),B(x2,y2),
则由,得,
所以△=﹣8m2+64>0,
所以,,,
设直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,
则===,
所以k1+k2=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值.
22.解:(1),
当时,,∴在上单调递减.
当时,令,得;
令,得.
∴的单调递减区间为,单调递增区间为.
当时,令,得;
令,得.
∴的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)当时,在上单调递减,
∴,不合题意
当时,,不合题意.
当时,,在上单调递增,
∴,故满足题意.
当时,在上单调递减,在单调递增,
∴,故不满足题意.
综上,的取值范围为.
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