【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第八章　第3讲　平行关系作业 6页

第3讲　 平行关系 ‎[基础题组练]‎ ‎1．若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　)‎ A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α与直线l至少有两个公共点 D．α内的直线与l都相交 解析：选B.因为lα，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．‎ ‎2．(2020·陕西华阴模拟)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)‎ A．lα，mβ，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l∥α，mα D．lα，α∩β＝m 解析：选B.选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交，故选B.‎ ‎3．(2020·安徽芜湖统一模拟考试)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：‎ ‎①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.‎ 真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据aα，bβ.α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是1，故选A.‎ ‎4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．‎ 解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.‎ 答案：平行 ‎6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．‎ 解析：因为EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点．‎ 故EF＝AC＝.‎ 答案： ‎7．在三棱柱ABCA1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB＝90°，且AC＝1，AB＝2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM＝AC.‎ ‎(1)若三棱锥A1C1ME的体积为，求AA1的长；‎ ‎(2)证明：CB1∥平面A1EM.‎ 解：(1)设AA1＝h，‎ 因为VA1C1ME＝VEA1C1M，S△A1C1M＝A1C1×h＝，三棱锥EA1C1M的高为2，‎ 所以VEA1C1M＝××2＝，解得h＝，即AA1＝.‎ ‎(2)证明：如图，连接AB1交A1E于点F，连接MF.‎ 因为E为BB1的中点，所以AF＝AB1，‎ 又AM＝AC，所以MF∥CB1，‎ 又MF平面A1EM，CB1平面A1EM，‎ 所以CB1∥平面A1EM.‎ ‎8．(2020·南昌市摸底调研)如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．‎ ‎(1)求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥PABM的体积．‎ 解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，‎ 所以MN∥PA，‎ 又MN平面PAB，PA平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，‎ 所以∠ACN＝60°.‎ 又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.‎ 因为CN平面PAB，AB平面PAB，所以CN∥平面PAB.‎ 又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.‎ ‎(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，‎ 所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．‎ 因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝，‎ 所以三棱锥PABM的体积V＝VMPAB＝VCPAB＝VPABC＝××1××2＝.‎ ‎ [综合题组练]‎ ‎1．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　)‎ A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC∥截面PQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45°‎ 解析：选B.因为截面PQMN是正方形，‎ 所以PQ∥MN，QM∥PN，‎ 则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，‎ 所以PQ∥AC，QM∥BD，‎ 由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；‎ 由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；‎ 由BD∥PN，‎ 所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；‎ 由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.‎ 所以＝，＝，‎ 而AN≠DN，PN＝MN，‎ 所以BD≠AC.B错误．故选B.‎ ‎2．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 答案：Q为CC1的中点 ‎3．如图，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．‎ ‎(1)求证：BE∥平面DMF；‎ ‎(2)求证：平面BDE∥平面MNG.‎ 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE平面MNG，GN平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN，又BD平面MNG，MN平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG，‎ 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎4．(2020·南昌二模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.‎ ‎(1)确定点E，F的位置，并说明理由；‎ ‎(2)求三棱锥FDCE的体积．‎ 解：(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以CE∥AD，又AB∥DC，‎ 所以四边形AECD是平行四边形，‎ 所以DC＝AE＝AB，‎ 即点E是AB的中点．‎ 因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，‎ 平面PAD∩平面PAB＝PA，‎ 所以EF∥PA，又点E是AB的中点，‎ 所以点F是PB的中点．‎ 综上，E，F分别是AB，PB的中点．‎ ‎(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，‎ 所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ 又AB∥CD，AB⊥AD，‎ 所以VFDEC＝VPDEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.‎