高中数学第二章数列2_3等比数列习题课——等比数列习题课学案新人教B版必修51 3页

2.3 等比数列习题课——等比数列习题课 1．了解分期付款的含义，理解复利的实质． 2．掌握有关分期付款的还贷问题． 3．掌握数列求和的常用方法——错位相减法． 题型一 错位相减法 【例 1】求数列 1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1 的前 n 项和． 分析：数列中含字母参数，应注意分类讨论，利用错位相减法． 反思：对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯． 题型二 分期付款问题 【例 2】陈老师购买安居工程集资房一套需 82 000 元，一次性国家财政补贴 28 800 元， 学校补贴 14 400 元，陈老师已有现金 28 800 元，尚缺 10 000 元，以月利率为 1%，每月以 复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分 6 个月付清，试问每月应支付多 少元？ (不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4) 分析：解答本题可以陈老师的欠款为主线计算．也可假设陈老师是每个月将一固定数目 的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款． 反思：解题关键点是掌握分期付款问题的两种常用处理办法：(1)按照事件发生的先后 顺序依次求出数列的前 n 项，并由此归纳迭代出数列的通项的一般表达式；(2)以贷款和存 款及增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式)． 题型三 转化为等比数列问题 【例 3】设数列{an}的前 n 项和 Sn＝4 3 an－1 3 ×2n＋1＋2 3 ，n∈N＋，求数列{an}的通项公式． 分析：解答本题可充分利用 Sn 与 an 的关系式，将问题转化为等比数列问题来求解． 反思：(1)将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解，这是求解有关数列通项公式与 前 n 项和公式的基本思想． (2)已知数列{an}的首项 a1，且 an＋1＝man＋k(m，k 为常数)． ①当 m≠1 时，可得 an＋1－c＝m(an－c)，则有 an＋1－man＝c(1－m)，c＝ k 1－m ，转化为等 比数列求解． ②当 m＝1 时，an＋1－an＝k，利用等差数列求解． 1 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则S5 S2 ＝( )． A．－11 B．－8 C．5 D．11 2 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1 4 ，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )． A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．32 3 (1－4－n) D．32 3 (1－2－n) 3 已知在等比数列{am}中，各项都是正数，且 a1，1 2 a3,2a2 成等差数列，则a9＋a10 a7＋a8 ＝( )． A．1＋ 2 B．1－ 2 C．3＋2 2 D．3－2 2 4 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n＋r，则 r 的值是________． 5 已知 x≠0，x≠1，y≠1，则(x＋1 y )＋(x2＋1 y2)＋…＋(xn＋1 yn)的值为________． 6 已知数列{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，S3＝7，且 a1＋3,3a2， a3＋4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 答案： 典型例题·领悟 【例 1】解：当 a＝1 时，数列变为 1,3,5,7，…，(2n－1)， 则 Sn＝n[1＋(2n－1)] 2 ＝n2. 当 a≠1 时， 有 Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，② ①－②，得 Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an， ∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1) ＝1－(2n－1)an＋2·a(1－an－1) 1－a ＝1－(2n－1)an＋2(a－an) 1－a . ∵1－a≠0，∴Sn＝1－(2n－1)an 1－a ＋2(a－an) (1－a)2 . 【例 2】解：解法一：设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0 元，以后第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 an 元(1≤n≤6)，则 a0＝10 000， a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， …… a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意可知 a6＝0， 即 1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝(1.01)6×102 (1.01)6－1 . 又因为 lg(1.01)6＝6 lg 1.01＝0.025 8， 所以 1.016＝1.061，所以 a＝1.061×102 1.061－1 ≈1 800. 答：每月应支付 1 800 元． 解法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和 为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)． 另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝a[(1＋0.01)6－1] 1.01－1 ＝a(1.016－1)×102. 由 S1＝S2，得 a＝(1.01)6×102 (1.01)6－1 . 以下解法同解法一，得 a≈1 800. 答：每月应支付 1 800 元． 【例 3】解：当 n＝1 时，a1＝S1＝4 3 a1－1 3 ×4＋2 3 ，∴a1＝2. 当 n≥2 时，由 Sn＝4 3 an－1 3 ×2n＋1＋2 3 ，① 得 Sn－1＝4 3 an－1－1 3 ×2n＋2 3 .② 由①－②，得 an＝4 3 (an－an－1)－1 3 (2n＋1－2n)． 整理得：an＋2n＝4(an－1＋2n－1)， ∴{an＋2n}是首项为 a1＋2＝4，公比为 4 的等比数列． ∴an＋2n＝4×4n－1，∴an＝4n－2n. 随堂练习·巩固 1．A 由 8a2＋a5＝0，得a5 a2 ＝－8，即 q3＝－8，∴q＝－2. ∴S5 S2 ＝ a1(1－q5) 1－q a1(1－q2) 1－q ＝1－q5 1－q2＝ 33 －3 ＝－11. 2．C 3．C 4．－1 5．x(1－xn) 1－x ＋ yn－1 yn＋1－yn 当 x≠0，x≠1，y≠1 时， (x＋1 y )＋(x2＋1 y2)＋…＋(xn＋1 yn) ＝(x＋x2＋…＋xn)＋(1 y ＋1 y2＋…＋1 yn) ＝x(1－xn) 1－x ＋ 1 y (1－1 yn) 1－1 y ＝x(1－xn) 1－x ＋ yn－1 yn＋1－yn. 6．解：(1)由已知，得 a1＋a2＋a3＝7， (a1＋3)＋(a3＋4)＝6a2， ∴a1＝1，q＝2. ∴an＝2n－1. (2)由已知得 Tn＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1， ∴2Tn＝1·2＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 解得 Tn＝(n－1)·2n＋1.