【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 7页

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 ‎ ‎1.观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为(　　)‎ ‎□‎ ‎●‎ ‎▲‎ ‎▲‎ ‎■‎ ‎○‎ ‎●‎ ‎△‎ A．■ B．△‎ C．□ D．○‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．‎ ‎2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)‎ A．6n－2 B．8n－2‎ C．6n＋2 D．8n＋2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎[答案]　B ‎[解析]　由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，故应选B．‎ ‎4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是(　　)‎ A．白色 B．黑色 C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大 ‎[答案]　A ‎[解析]　由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．‎ ‎5．(山东高考)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　通过观察所给的结论可知，若f(x)为偶函数，则导数g(x)是奇函数．故选D．‎ ‎6．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．6 D．－6‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　a3＝a2－a1＝6－3＝3，‎ a4＝a3－a2＝3－6＝－3，‎ a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，‎ a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，‎ a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3，‎ a8＝a7－a6＝6.‎ 归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故应选A．‎ 二、填空题 ‎7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的结论是 ________.‎ ‎[答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2‎ ‎[解析]　从数值特征看，等式左边首数为n时，共有连续2n－1个数，右边为(2n－1)2.‎ ‎8．经计算发现下列正确不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b成立的条件不等式： ________.‎ ‎[答案]　当a＋b＝20时，有＋≤2(a>0，b>0)‎ ‎[解析]　各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.‎ 三、解答题 ‎9．已知Sn＝＋＋＋…＋，写出S1、S2、S3、S4的值，并由此归纳出S n的表达式．‎ ‎[分析]　在Sn中分别令n＝1、2、3、4，可以求得S1、S2、S3、S4的值，再进行归纳推测．‎ ‎[答案]　Sn＝(n∈N＋)‎ ‎[解析]　S1＝＝；‎ S2＝＋＝＋＝＝；‎ S3＝＋＋＝＋＝＝；‎ S4＝＋＋＋＝＋＝＝；‎ 由此猜想：Sn＝(n∈N＋)．‎ ‎[点评]　本题利用归纳猜想的思想求得了Sn的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中Sn的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．‎ ‎10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎[答案]　(1)　(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝ ‎[解析]　解法一：‎ ‎(1)选择(2)式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：‎ ‎(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.‎ 一、选择题 ‎11．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如下图)，‎ 则第n个正方形数是(　　)‎ A．n(n－1) B．n(n＋1)‎ C．n2 D．(n＋1)2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　第n个正方形数的数目点可排成每边都有n个点的正方形，故为n2.‎ ‎12．将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：‎ 根据以上规律判定，从2 013到2 015的箭头方向是(　　)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化．‎ ‎∵2 013＝4×503＋1，∴2 013的起始位置应与1的起始位置相同，故选B．‎ ‎13．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是(　　)‎ ‎①a5＝15；‎ ‎②数列{an}是一个等差数列；‎ ‎③数列{an}是一个等比数列；‎ ‎④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．‎ A．①②④ B．①③④‎ C．①② D．①④‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．‎ ‎14．如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转144°得到的，故由第三个图形顺时针旋转144°得到的图形应为A．‎ 二、填空题 ‎15．观察下列不等式 ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为 ________.‎ ‎[答案]　1＋＋＋＋＋< ‎[解析]　本题考查了归纳的思想方法．‎ 观察可知1＋＋＋…＋<，‎ 所以第五个不等式为：‎ ‎1＋＋＋＋＋<.‎ 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．‎ ‎16．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆有4个，第(3)堆有10个…，则第n堆有 ________个小正方体．‎ ‎[答案]　n(n＋1)(n＋2)‎ ‎[解析]　第一堆有1个；第二堆有1＋(1＋2)＝4个；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个；……；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)个．‎ 三、解答题 ‎17．由下列各式：‎ ‎1>，‎ ‎1＋＋>1，‎ ‎1＋＋＋＋＋＋>，‎ ‎1＋＋＋＋…＋>2，‎ 请你归纳出一般结论．‎ ‎[答案]　1＋＋＋…＋> ‎[解析]　将题中所给四个式子变形>，‎ ‎1＋＋>，‎ ‎1＋＋＋＋＋＋>，‎ ‎1＋＋＋＋…＋>，‎ 归纳概括，猜测得1＋＋＋…＋>.‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．‎ ‎[答案]　Sn＝－(n∈N＋)‎ ‎[解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，‎ ‎∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1.‎ ‎∴＋Sn－1＋2＝0.‎ 当n＝1时，S1＝a1＝－；‎ 当n＝2时，＝－2－S1＝－，‎ ‎∴S2＝－；‎ 当n＝3时，＝－2－S2＝－，‎ ‎∴S3＝－；‎ 当n＝4时，＝－2－S3＝－，‎ ‎∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．‎