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- 2021-06-16 发布
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单元质量评估(一)
(第一讲)
(90 分钟 120 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.如果 a,b,c 满足 cac B.c(b-a)>0
C.cb20,c<0,b-a<0,a-c>0.故 A,B,D 均正确,当 b=0 时,C
不正确.
2.若-41,y>1,且 lgx+lgy=4,则 lgxlgy 的最大值是 ( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】选 A.由 x>1,y>1,故 lgx>0,lgy>0,
所以 4=lgx+lgy≥2
所以 lgxlgy≤4,当且仅当 x=y=100 时取等号.
5.不等式|x2-x|<2 的解集为 ( )
A.(-1,2) B.(-1,1)
C.(-2,1) D.(-2,2)
【解析】选 A.原不等式可化为-22;故 A,B 中最小值
都不是 2.
D 中,02.无最小值.
只有 C 正确.
7.已知 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且α=a+ ,β=b+ ,则α+β的最小值是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选 C.因为 a+b=2× =1,
所以α+β=a+ +b+ =1+ +
=1+ + =3+ + ≥5,
当且仅当 a=b= 时等号成立.
8.设 00)的最小值为 .
【解析】f(x)=3x+ = + + ≥3 =9,当且仅当 = ,即 x=2 时取等号.
答案:9
【补偿训练】函数 y=x2+ (x>0)的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A.y=x2+ =x2+ +
≥3 =3 = .
当且仅当 x2= 即 x = 时等号成立.
11.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数 a 满
足 f(2|a-1|)>f(- ),则 a 的取值范围是 .
【解析】由题意知函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减,
又 f(x)是偶函数,
所以由 f(2|a-1|)>f(- )=f( )知,2|a-1|< ,
即|a-1|< ,解得 0,y>0,x+2y+xy=30,求 xy 的取值范围.
【解析】因为 x>0,y>0,所以 30=x+2y+xy
≥2 +xy=2 +xy,
所以( )2+2 -30≤0,
所以( -3 )( +5 )≤0,
所以 0< ≤3 ,即 00,
所以(x+2)+ ≥2 =16,
当且仅当 x+2= ,即 x=6 时,等号成立,
所以 xy≤-16+34=18,
当且仅当 x=6,y=3 时等号成立.
所以 xy 的取值范围是(0,18].
14.(10 分)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0.
(1)求当 a=1 时,不等式 f(x)≥3x+2 的解集.
(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.
【解析】(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2.
由此可得 x≥3 或 x≤-1.
故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为
{x|x≥3 或 x≤-1}.
(2)由 f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为 a>0,
所以不等式组的解集为 .
由题设可得- =-1,故 a=2.
15.(10 分)已知 a>0,b>0 且 a2+ =1,求 a 的最大值.
【解析】a = ·a·
= ·
≤ · = · = ,
当且仅当 a2= 时,等号成立.
又 a2+ =1,即 a= ,b= 时,等号成立.故所求最大值为 .
16.(10 分)f(x)=|x+1|+|x-3|.
(1)解不等式 f(x)≤3x+4.
(2)若不等式 f(x)≥m 的解集为 R,试求实数 m 的取值范围.
【解析】(1)f(x)= 原不等式等价于:
或 或
所以不等式的解集为[0,+∞).
(2)由绝对值的几何意义可知,|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x≤3 时,等号成立,
即 f(x)min=4,
从而要使 f(x)≥m 的解集为 R,只需 m≤f(x)min,
即实数 m 的取值范围是(-∞,4].
17.(10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出 y=f(x)的图象.
(2)求不等式|f(x)|>1 的解集.
【解析】(1)如图所示:
(2)f(x)=
|f(x)|>1,
当 x≤-1 时,|x-4|>1,
解得 x>5 或 x<3,所以 x≤-1.
当-11,
解得 x>1 或 x< ,
所以-11,
解得 x>5 或 x<3,
所以 ≤x<3 或 x>5.
综上,x< 或 15,
所以|f(x)|>1 的解集为
∪(1,3)∪(5,+∞).
18.(10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集.
(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a=1 时,
f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;
当-10,
解得 0,
解得 1≤x<2.
所以 f(x)>1 的解集为 .
(2)由题设可得,
f(x)=
所 以 函 数 f(x) 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为
A ,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2.
由题设得 (a+1)2>6,
故 a>2.所以 a 的取值范围为(2,+∞).
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