北师版高中数学必修一第3讲：函数的相关概念与映射（教师版） 8页

1 函数的相关概念与映射 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型； 2、 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 3、 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 一、映射的概念： 设 A 、 B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系 f ，对于集合 A 中的任意一个元素， 在集合 B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A 、 B ，以及对应关系 f ） 叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作： :f A B 。 二、像与原像的概念： 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a A b B  ，如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的像，元素 a 叫做元素 b 的原像。 特别提醒：1、对于映射 :f A → B 来说，则应注意理解以下四点： （1）集合 A 中每一个元素，在集合 B 中必有唯一的象；（2）集合 A 中不同元素，在集合 B 中可 以有相同的象；（3）集合 A 中的元素与集合 B 中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”， 但不能是“一对多”。（4）允许集合 B 中的元素没有象； 2、集合 A 、 B 及对应法则 f 是确定的，是一个系统； 3、对应法则 f 有“方向性”。即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般 是不同的； 三、映射： 一般地，设 A ，B 是两个非空的集合， :f A → B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射 下，对于集合 A 中的不同的元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那么这 个映射叫做 A 到 B 的一一映射。 2 特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合 B 中的每一个元素都有原象，也 就是说，集合 B 中不允许有剩余的元素。（2）对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象， 也就是说，不允许“多对一”； 四、函数的概念 ： 设 A 、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数  f x 和它对应，那么就称 :f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数，记作  ,y f x x A  。其中 x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做函数 )(xfy  的定义域；与 x 的 值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 Axxf |)( 叫做函数 )(xfy  的值域。 特别提醒：1、函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合 A , B 为非空的数集；其中定义域 A ，就是指原象的集合，值域 Axxf |)( ，就是象的集合。2、函 数符号 )(xfy  表示“ y 是 x 的函数”，应理解为：（1）x 是自变量，它是关系所施加的对象； f 是 对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号  y f x 仅仅是函数符号，不是表示“ y 等于 f 与 x 的乘积”， )(xf 也不一定是解析式，再研究函数时，除 用符号 )(xf 外，还常用 ( ), ( ), ( )g x F x G x 等符号来表示。3、判断两个变量之间是否具有函数关系， 只要检验：（1） x 的取值集合是否为空集；（2）根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域内的每 一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。 五：函数的值：  f a 表示当 x a 时，函数  f x 的值，这个值就由“ f ”这一对应关系来确定； )(xf 与 )(af 是不同的，前者表示以 x 为自变量的函数，后者为常数 六：函数的三要素 ： 我们通常把对应法则 f 、定义域 A 、值域 Axxf |)( 称为函数的三要素。由函数的定义可 知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域 和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。 七：区间的概念和记号： 名称 定义 符号 数轴表示 闭区间  x a x b   ,a b 开区间 ｛ x a ＜ x ＜b ｝  ,a b 左闭右开区间 ﹛ x a x ＜b ﹜  ,a b 左开右闭区间 ｛ x a ＜ x b ｝  ,a b 无穷区间 ｛ x x a ｝  ,a 无穷区间 ｛ x x ＜ a ｝  ,a 无穷区间 ｛ x x a ｝  ,a  3 无穷区间 ｛ x x ＞ a ｝  ,a  特别提醒：书写区间记号时： （1）有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点；（2）两个端点之间用“，” 隔开；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“  ”或“  ”为区间一端时，这一端必是小括 号。 八：分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称 为分段函数。如函数 0 0 0 0 x x y x x x x       特别提醒：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求分段 函数的值 0( )f x 时，一定首先要判断 0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；3、分段函 数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 九：复合函数 如果    ,y f u u g x  ，那么  y f g x    叫做 f 和 g 的复合函数，其中  g x 为内函数，  f u 为外函数。 类型一 映射的概念 例 1：已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列 A 到 B 的四个对应关系中，能否构成 A 到 B 的映射？说明理由． 解析：(1)、(3)是 A 到 B 的映射，都符合映射的定义，即 A 中的每一个元素在 B 中都有惟一元 素与之对应；(2)不是 A 到 B 的映射，因为 A 中的元素 4 在 B 中没有元素与之对应；(4)不是 A 到 B 的映射，因为 A 中的元素 3 在 B 中有两个元素与之对应． 答案：(1)、(3)是 A 到 B 的映射；(2)、（4）不是 A 到 B 的映射 练习 1：设集合 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的 是( ) A．f：x→y＝1 2 x B．f：x→y＝x－2 C．f：x→y＝ x D．f：x→y＝＝|x－2| 答案：B 练习 2： (2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列对应是集合 A 到集合 B 的映射 的是( ) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| 4 B．A＝{平面内的圆}；B＝{平面内的矩形}，f：每一个圆对应它的内接矩形 C．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，f：x→y＝1 2 x D．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A 中的数开平方 答案：C 类型二 映射中的象与原象 例 2：已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是从 A 到 B 的映射，f：x→(x＋1，x2 ＋1)，求 A 中元素 2的象和 B 中元素(3 2 ，5 4 )的原象. 解析：把 x＝ 2代入对应法则，得其象为( 2＋1,3)， 又由 x＋1＝3 2 x2＋1＝5 4 ，解得 x＝1 2 . ∴ 2的象为( 2＋1,3)，(3 2 ，5 4 )的原象为1 2 . 答案： 2的象为( 2＋1,3)，(3 2 ，5 4 )的原象为1 2 . 练习 1：已知映射 f：(x，y)―→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)． (1)求(－1,2)的象； (2)求(－1,2)的原象． 答案：(－1,2)的象为(－6,1)．(－1,2)的原象为(0,1)． 练习 2：(2014～2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)在映射 f：A→B 中，集合 A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，且 f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则 B 中的元素(－1,2)在集合 A 中的原象 为________． 答案： 1 2 ，3 2 类型三 函数的概念 例 3：设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}给出下列 4 个图形，其中能表示集合 M 到集合 N 的 函数关系的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合 M 中 10}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x； 答案：(1)否 (2)是 练习 2：下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了 C．数集都能用区间表示 D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 答案：D． 类型四 同一函数的判定 例 4：下列各组函数是同一函数的是( ) ①f(x)＝ －2x3与 g(x)＝x －2x； ②f(x)＝x 与 g(x)＝ x； ③f(x)＝x0 与 g(x)＝1 x0； ④f(x)＝x2－2x－1 与 g(x)＝t2－2t－1. A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 解析：对于①、②，两函数的对应法则都不同，对于③、④，两函数的定义域和对应法则都相 同，故选 C． 答案：C． 练习 1：(2014～2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)下列四组函数，表示同一函数的 是( ) A．f(x)＝ x2，g(x)＝x B．f(x)＝x，g(x)＝x2 x C．f(x)＝ x2－4，g(x)＝ x－2· x＋2 D．f(x)＝x，g(x)＝ 3 x3 答案：D 练习 2：下列函数中哪个与函数 xy  是同一个函数，把序号填在横线上 。 1  2 xy  ； ② 3 3xy  ； ③ 2xy  答案： ② 类型五 函数的定义域 例 5：求下列函数的定义域： (1)y＝3－1 2 x； (2)y＝ 2x＋3－ 1 2－x ＋1 x ； 解析：(1)函数 y＝3－1 2 x 的定义域为 R. 6 (2)要使函数有意义，则有 2x＋3≥0 2－x>0 x≠0 ， 解得－3 2 ≤x<2，且 x≠0. ∴所求函数的定义域为 x|－3 2 ≤x<2，且 x≠0 . 答案：（1）R（2） x|－3 2 ≤x<2，且 x≠0 . 练习 1：求下列函数的定义域： (1)y＝ x－1 x2－3x＋2 ； (2)y＝ x2－1＋ 1－x2； (3)y＝ 1 1－|x| ＋ x2－1. 答案：(1) {x∈R|x≠1，且 x≠2}．(2){－1,1}．(3) (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 练习 2：(2014～2015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)函数 y＝ x＋1 x 的定义域是 ( ) A．[－1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－1,0)∪(0，＋∞) 答案： D 类型六 求函数值 例 6：若 f(x)＝1－x 1＋x (x≠－1)，求 f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]． 解析：f(0)＝1－0 1＋0 ＝1；f(1)＝1－1 1＋1 ＝0； f(1－a)＝1－ 1－a 1＋ 1－a ＝ a 2－a (a≠2)； f[f(2)]＝1－f 2 1＋f 2 ＝ 1－1－2 1＋2 1＋1－2 1＋2 ＝2. 答案： 2 练习 1：已知函数 f(x)＝3x2－5x＋2，求 f(3)，f(－ 2)，f(a＋1) 答案：f(3)＝14；f(－ 2)＝8＋5 2；f(a＋1)＝3a2＋a. 练习 2：已知函数 f(x)＝x2＋x－1.求 f(2)，f(1 x )； 答案： f(2)＝5，f 1 x ＝1＋x－x2 x2 . 7 1. 给出下列关于从集合 A 到集合 B 的映射的论述，其中正确的有_________。 ① B 中任何一个元素在 A 中必有原象；② A 中不同元素在 B 中的象也不同；③ A 中任何一个 元素在 B 中的象是唯一的；④ A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象；⑤ B 中某一元素在 A 中 的原象可能不止一个；⑥集合 A 与 B 一定是数集；⑦记号 BAf : 与 ABf : 的含义是一样的． 答案：③⑤ 2. 下列集合 A 到集合 B 的对应中，判断哪些是 A 到 B 的映射? 判断哪些是 A 到 B 的一一映 射? (1) ZBNA  , ，对应法则 :f ByAxxyx  ,, ； (2)  RA ，  RB ， xyxf 1:  ， Ax  ， By  ； 答案： (1)是映射，不是一一映射， (2)是映射，是一一映射． 3. 下列各式能否确定 y 是 x 的函数？ （1） 2 2 1x y  ；（2） 2 3 0x y   ；（3） 3 2y x x    答案：（1）不能（2）能；（3）不能。 4. 已知   2 3 1f x x x   ，则  1f  ；  5f   ；  2f  ；  f a  ；  2 1f a   。 答案：-1；41；3 3 2 ； 2 3 1a a  ； 24 10 5a a  。 5．下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 ①  2 ,y x y x  ； ②  22 ,y x y x  ； ③ 2 11, 1 xy x y x     ； ④ 0 , 1y x y  ⑤ 2,y x y x  答案：⑤ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1．下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是（ ） A、  , 0 , , :A R B x x x R x A f x x     且 B、 , , : 1,A N B N x f xA    C、   20 , , , :A x x x R B R x A f x x     且 D、 1, , , :A Q B Q x A f x x     答案：C 2. 已知    0 4 , 0 2P x x Q y y      ，下列对应不表示从 P 到Q 的函数的是（ ） A、 1: 2f x y x  B、 1: 3f x y x  C、 3: 2f x y x  D、 :f x y x  答案：C 8 3.(2014～2015 学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)函数 f(x)＝ 2－x＋ x－2的定义域为 ____________． 答案：2 4. BAf : 是从 A 到 B 的映射，其中 RA  ，  RyxyxB  ,),( ， )1,1(: 2  xxxf ， 则 A 中元素 2 的象是 ； B 中元素 )2,2( 的原象 。 答案： )3,12(  1 5. 己 知 集 合    4 21,2,3, , 4,7, , 3A k B a a a   ， 且 , , ,a N x A y B   使 B 元 素 3 1y x  和 A 中的元素 x 对应，则 a = ， k = 。 答案：2 5 6. 已知函数   2f x x px q   满足    1 2 0f f  ，则  1f   。 答案：6 7. 下列函数中哪个与函数 xy  是同一个函数，把序号填在横线上 。 ①  2 xy  ； ② 3 3xy  ； ③ 2xy  答案：② 能力提升 8. 已知    2 1 1f x x g x x    求    ,f g x g f x       答案：    2 1 1 2f g x x x x       ；   2 1 1g f x x     9. 已知      1 0 )( x xf  )0( )0( )0(    x x x ，分别求         1 , 1 , 0 , 1f f f f f f    的值。 答案： (1) 2 ( 1) 0 (0) { [ ( 1)]} 1 f f f f f f       ； ； ； ； 10. 将下列集合用区间表示： （1） 2 01 xx x      ； （2） 1 2 3x x x  或 ； （3） 1,x x x R   。 答案：（1）   ,1 2,   ；（2）   1 2,3 ；（3）     , 1 1,1 1,     。