【数学】2020届一轮复习北师大版全称量词、存在量词课时作业 6页

‎2020届一轮复习北师大版 全称量词、存在量词 课时作业 知识点一 全称命题与特称命题的判断 ‎1.下列命题中全称命题的个数是(　　)‎ ‎①任意一个自然数都是正整数；‎ ‎②有的等差数列也是等比数列；‎ ‎③三角形的内角和是180°.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　①③是全称命题，②是特称命题．‎ ‎2．下列命题为特称命题的是(　　)‎ A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3‎ 答案　D 解析　选项A、B、C均为全称命题．故选D.‎ ‎3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：‎ ‎(1)凸n边形的外角和等于2π；‎ ‎(2)有一个有理数x0满足x＝3；‎ ‎(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.‎ 解　(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.‎ ‎(2)∃x0∈Q，x＝3.‎ ‎(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.‎ 知识点二 全称命题与特称命题的真假判定 ‎4.下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tanx＝1‎ C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0‎ 答案　C 解析　选项A，lg x＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.‎ ‎5．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．‎ 答案　0‎ 解析　①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题.‎ 知识点三 全称命题与特称命题的应用 ‎6.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　m≥ 解析　因为x1∈[－1,3]，所以f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即x2－m≤0，所以m≥x2，m≥2，即m≥.‎ 一、选择题 ‎1．下列命题为特称命题的是(　　)‎ A．奇函数的图象关于原点对称 B．sin＝cosx C．棱锥仅有一个底面 D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0‎ 答案　D 解析　A，B，C中的命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中的命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.‎ ‎2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(　　)‎ A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα B．存在实数x0，使sinx0＝ C．对一切α，sin(180°－α)＝sinα D．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 答案　A 解析　只有A，B两个选项中的命题是特称命题．因为|sinx|≤1，所以sinx0＝不成立，故B中命题为假命题，又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故A中命题为真命题．‎ ‎3．下列命题中，是正确的全称命题的是(　　)‎ A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0‎ B．菱形的两条对角线相等 C．∃x0∈R，＝x0‎ D．对数函数在定义域上是单调函数 答案　D 解析　A中含有全称量词“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题．B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，故选D.‎ ‎4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的是(　　)‎ A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)‎ B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)‎ C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)‎ D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)‎ 答案　C 解析　由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．‎ ‎5．下列4个命题：‎ p1：∃x0∈(0，＋∞)，x0< x0；‎ p2：∃x0∈(0,1)，logx0>logx0；‎ p3：∀x∈(0，＋∞)，x>logx；‎ p4：∀x∈，x‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,3)))x恒成立，故p1是假命题；由对数函数y＝logx和y＝logx的图象，得当x∈(0,1)时，logx>logx恒成立，故p2是真命题；由指数函数y＝x和对数函数y＝logx的图象，得当x∈(0，＋∞)时，x>logx不一定成立，故p3是假命题；在平面直角坐标系中画出y＝x和y＝logx的图象，如图所示，两函数图象在第一象限内有交点M，当x＝时，log>，故当x∈时，xx2；‎ ‎②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；‎ ‎③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0；‎ ‎④∀a∈R，有f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点．‎ 其中真命题的序号为________．‎ 答案　②④‎ 解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题；④中，对∀a∈R，Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4>0，所以f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点，故为真命题．‎ ‎8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　a≤－2或a＝1‎ 解析　∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，‎ 当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.‎ ‎∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，‎ 即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，‎ ‎∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.‎ 又p∧q为真，故p、q都为真，‎ ‎∴ ‎∴a≤－2或a＝1.‎ 三、解答题 ‎9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．‎ ‎(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；‎ ‎(2)对任意实数x1，x2，若x10(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．‎ ‎(2)是全称命题．‎ 存在x1＝0，x2＝π，x10，∴命题(4)是假命题．‎ ‎10．(1)命题p：∀x∈R，sinxcosx≥m.若命题p是真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)命题q：∃x∈R，sinxcosx≥m.若命题q是真命题，求实数m的取值范围．‎ 解　设函数f(x)＝sinxcosx，x∈R，‎ 则f(x)＝sin2x，‎ 所以函数f(x)的值域是.‎ ‎(1)由于命题p是真命题，‎ 即对任意x∈R，sinxcosx≥m恒成立，‎ 所以对任意x∈R，f(x)≥m恒成立．‎ 又函数f(x)的最小值为－，所以只需m≤－，‎ 所以实数m的取值范围是.‎ ‎(2)由于命题q是真命题，即存在实数x满足sinxcosx≥m成立，‎ 所以存在实数x，满足f(x)≥m成立．‎ 由于函数f(x)的最大值为，‎ 所以m≤，‎ 所以实数m的取值范围是.‎