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- 2021-06-16 发布
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第八章
解析几何
第九讲 圆锥曲线的综合问题
第三课时 定点、定值、探索性问题
考点突破
•
互动探究
考点一 圆锥曲线的定值问题
——
自主练透
例
1
求解定值问题常用的方法
(1)
从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)
直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
考点二 圆锥曲线中的定点问题
——
师生共研
例
2
求解定点问题常用的方法
(1)
“
特殊探路,一般证明
”
,即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目标的一般性证明.
(2)
“
一般推理,特殊求解
”
,即先由题设条件得出曲线的方程,再根据参数的任意性得到定点坐标.
(3)
求证直线过定点
(
x
0
,
y
0
)
,常利用直线的点斜式方程
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
)
来证明.
〔
变式训练
2
〕
(2020
·
安徽蚌埠质检
)
已知抛物线
C
:
y
2
=
2
px
(
p
>0)
,直线
y
=
x
-
1
与
C
相交所得的弦长为
8
.
(1)
求
p
的值;
(2)
已知点
O
为坐标原点,一条动直线
l
与抛物线
C
交于
O
,
M
两点,直线
l
与直线
x
=-
2
交于
H
点,过点
H
作
y
轴的垂线交抛物线
C
于
N
点,求证:直线
MN
过定点.
例
3
考点三 圆锥曲线中的探索性问题
——
师生共研
圆锥曲线中的探索性问题
1
.
圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种,若探究条件,则可先假设条件成立,在验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在:若探究结论,则应先求出结论的表达式,在对其表达式解析讨论,往往涉及对参数的讨论.
2
.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:
(1)
探索点是否存在;
(2)
探索曲线是否存在;
(3)
探索命题是否成立,解决此类问题通常采用
“
肯定顺推法
”
,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在;否则,元素
(
点、直线、曲线或参数
)
不存在.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
3
.解决探索性问题的答题模板
〔
变式训练
3
〕
(2020
·
河南省八市重点高中联盟联考
)
已知抛物线
C
:
y
2
=
4
x
的准线为
l
,
M
为
l
上一动点,过点
M
作抛物线
C
的切线,切点分别为
A
,
B
.
(1)
求证:
△
MAB
是直角三角形;
(2)
x
轴上是否存在一定点
P
,使
A
,
P
,
B
三点共线.
[
解析
]
(1)
由已知得直线
l
的方程为
x
=-
1
,
设
M
(
-
1
,
m
)
,切线斜率为
k
,
则切线方程为
y
-
m
=
k
(
x
+
1)
,将其与
y
2
=
4
x
联立消
x
得
ky
2
-
4
y
+
4(
m
+
k
)
=
0
.
所以
Δ
=
16
-
16
k
(
m
+
k
)
=
0
,化简得
k
2
+
mk
-
1
=
0
,
所以
k
1
k
2
=-
1
,所以
MA
⊥
MB
.
即
△
MAB
是直角三角形.
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