新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-2-4　向量的数量积 18页

6.2.4 向量的数量积 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意 义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量 的意义.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系.(重点) 1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象 的核心素养. 2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养. 3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培 养数学运算核心素养. 一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了, 太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来…… 问题 1:小明和同学谁说得对呢? 答案 从物理的角度说小明没有做功,而从日常生活中说小明确实做功了. 问题 2:从数学的角度能解释这个问题吗? 答案 能. 1.向量的夹角 条件 已知两个非零向量 a,b 定义 O 是平面上的任意一点,作 歘 =a, =b,则①∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹 角,如图所示: 范围 0≤θ≤π 特殊情 况 θ=0 a 与 b 同向 θ= π 2 a 与 b 垂直,记作②a⊥b θ=π a 与 b 反向 思考 1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件? 提示 两个向量共起点. 2.向量的数量积 条件 两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ 定义 数量|a||b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积) 记法 a·b=③|a||b|cosθ 规定 0 与任一向量的数量积为 0 思考 2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么? 提示 向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向量是一个向量,既 有大小,又有方向. 3.投影向量 如图 1,设 a,b 是两个非零向量, 歘 =a, =b,我们考虑如下的变换:过 歘 的起点 A 和终 点 B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为 A1,B1,得到 歘11 ,我们称上述变换为向量 a 向向 量 b④投影, 歘11 叫做向量 a 在向量 b 上的⑤投影向量. 如图 2,我们可以在平面内任取一点 O,作 =a, =b,过点 M 作直线 ON 的垂线,垂足 为 M1,则 1 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量. 思考 3:向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影分别是什么? 提示 向量 a 在向量 b 上的投影是|a|cosθ || = · 2 ·b,向量 b 在向量 a 上的投影是 |b|cosθ || = · 2 ·a. 4.平面向量数量积的性质 设 a,b 是两个非零向量,它们的夹角是θ,e 是与 b 方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=⑥|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=⑦-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2 或|a|= · . 此外,由|cosθ|≤1 还可以得到 (4)|a·b|≤⑧|a||b|. (5)cosθ= · |||| (其中θ是非零向量 a 与 b 的夹角). 思考 4:|a·b|≤|a||b|的等号什么时候成立? 提示 当且仅当向量 a,b 共线,即 a∥b 时,等号成立. 5.数量积的运算律 已知向量 a,b,c 和实数λ,则 (1)交换律:a·b=b·a; (2)数乘结合律:(λa)·b=λ(b·a)=a·(λb); (3)分配律:(a+b)·c=⑨a·c+b·c. 思考 5:(a·b)·c=a·(b·c)成立吗? 提示 不成立.因为(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的 向量,若 c 与 a 不共线,只有 a·b=b·c=0 时才相等. 探究一 数量积的运算 例 1 (1)已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120°,则(a+b)·(a-b)= ,(2a- b)·(a+3b)= . (2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求 歘 · 歘 . 答案 (1)-5;-34 解析 (1)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34. (2) 歘 · 歘 =| 歘 || 歘 |cos∠BAC=5×4× 4 5 =16. 思维突破 向量数量积的求法 (1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键. (2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算. 1-1 在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 歘 · 歘 = . 答案 -16 解析 设∠AMB=θ,则∠AMC=π-θ, ∵ 歘 = - 歘 , 歘 = - 歘 , ∴ 歘 · 歘 =( - 歘 )·( - 歘 )= · - · 歘 - 歘 · + 歘 2 =-25-5×3cosθ- 3×5cos(π-θ)+9=-16. 1-2 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知| 歘 |=4,| 歘 |=3,∠DAB=60°,求: (1) 歘 · ; (2) 歘 · ; (3) 歘 · 歘 . 解析 (1)∵ 歘 与 平行且方向相同,∴ 歘 与 的夹角为 0°, ∴ 歘 · =| 歘 || |cos0°=3×3×1=9. (2) 歘 与 平行且方向相反, ∴ 歘 与 的夹角是 180°, ∴ 歘 · =| 歘 || |cos180°=4×4×(-1)=-16. (3)∵ 歘 与 歘 的夹角是 60°, ∴ 歘 与 歘 的夹角是 120°, ∴ 歘 · 歘 =| 歘 || 歘 |cos120°=4×3× - 1 2 =-6. 探究二 与模、夹角有关的问题 例 2 (1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量 a、b 的夹角θ= π 3 ,则|a+b|= . (2)已知 a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 . 答案 (1)5 3 (2) π 6解析 (1)a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos π 3 = 25 2 . |a+b|= ( + ) 2 = || 2 + 2 · + || 2 = 25 + 2 × 25 2 + 25 =5 3 . (2)∵|a|=|a-b|, ∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2. 又|a|=|b|,∴a·b= 1 2 |a|2, 又|a+b|= ( + ) 2 = || 2 + 2 · + || 2 = 3 |a|, 设 a 与 a+b 的夹角为θ, 则 cosθ= · (+) |||+| = 2 + · |||+| = ||2 + 1 2||2 || · 3|| = 3 2 , 又θ∈[0,π],∴θ= π 6 , 即 a 与 a+b 的夹角为 π 6 . 易错点拨 错误地类比实数运算中的法则,实际上 |a2-b2|=|(a+b)·(a-b)|≤|a+b||a-b|. 1.利用数量积求解长度问题: (1)a2=a·a=|a|2 或|a|= · . (2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. 求模一般转化为求模的平方. 2.求向量的夹角的步骤: (1)求 a·b 及|a||b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算; (2)利用 cosθ= · |||| 求出 cosθ的值; (3)借助θ∈[0,π],求出θ. 2-1 已知向量 a,b 的夹角为 60°,且|a|=2,|b|=1,若 c=2a-b,d=a+2b,则 c·d= ,|c+2d|= . 答案 9; 97解析 因为向量 a 与 b 的夹角为 60°, |a|=2,|b|=1. 所以 a·b=|a||b|cos60°=1. c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2+3a·b-2b2=2|a|2+3×1-2|b|2=2×22+3-2×12=9. 因为 c+2d=(2a-b)+2(a+2b)=4a+3b, |c+2d|2=(c+2d)2=(4a+3b)2=16a2+24a·b+9b2 =16|a|2+24×1+9|b|2=16×22+24×1+9×1=97, 所以|c+2d|= 97 . 2-2 已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 m=2a+b 与向量 n=a-4b 的夹角的余弦 值为 . 答案 - 7 14解析 a·b=2×1×cos60°=1, |m|2=|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×1+1=21, |n|2=|a-4b|2=|a|2-8a·b+16|b|2=22-8×1+16×1=12, ∴|m|= 21 ,|n|=2 3 , m·n=(2a+b)·(a-4b)=2|a|2-7a·b-4|b|2=2×22-7×1-4×1=-3. 设 m,n 的夹角为θ, 则 cosθ= · |||| = -3 21 × 2 3 =- 7 14 . 探究三 两向量的垂直问题 例 3 (1)已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 60°,若 a+λb 与λa+b 互相垂直,则λ的 取值范围是 . (2)已知向量 a,b 不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b). 答案 (1){-2- 3 ,-2+ 3 } 解析 (1)∵两个单位向量 a 与 b 的夹角为 60°, ∴a·b=|a||b|cos60°=1×1×cos60°= 1 2 , 又 a+λb 与λa+b 互相垂直, ∴(a+λb)·(λa+b)=0, ∴λa2+(λ2+1)a·b+λb2=0, ∴λ2+4λ+1=0, ∴λ∈{-2- 3 ,-2+ 3 }. (2)证明:∵|2a+b|=|a+2b|, ∴(2a+b)2=(a+2b)2, ∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2, ∴a2=b2, ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0. 又 a 与 b 不共线,∴a+b≠0,a-b≠0, ∴(a+b)⊥(a-b). 思维突破 两向量垂直的作用 (1)根据 a·b=0 可证明向量 a 与 b 垂直; (2)向量 a 与 b 垂直,则 a·b=0,可列方程(组)求未知数; (3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题. 3-1 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角,则 k 的 取值范围为 . 答案 (0,1)∪(1,+∞) 解析 ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=k 1 2 +k 2 2 +(k2+1)·e1·e2=2k>0, ∴k>0.当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2, 它们的夹角为 0,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围为(0,1)∪(1,+∞). 3-2 已知非零向量 a,b 满足 a+3b 与 7a-5b 互相垂直,a-4b 与 7a-2b 互相垂直,求 a 与 b 的 夹角. 解析 由已知条件得 ( + 3) · (7-5) = 0, (-4) · (7-2) = 0,即 7 2 + 16 · -15 2 = 0, ① 7 2 -30 · + 8 2 = 0, ② ②-①得,23b2-46a·b=0, ∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2, ∴|a|=|b|,∴cosθ= · |||| =1 22 ||2 = 1 2 . ∵θ∈[0,π],∴θ= π 3 . 探究四 向量的投影 例 4 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D 是 BC 边的中点. 求:(1) 歘 在 上的投影向量; (2) 在 歘 上的投影向量. 解析 如图所示,连接 AD,因为 AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC 是等腰直角三角形,又 D 是 BC 边的中点,所以 AD⊥BC,∠ABD=45°,所以 BD=2 2 . 延长 AB 到 E,则 歘 与 的夹角为∠DBE=180°-45°=135°. (1) 歘 在 上的投影向量为| 歘 |cos135°· | | =4× - 2 2 × 2 2 =- . (2) 在 歘 上的投影向量为| |cos135°· 歘 |歘 | =2 2 × - 2 2 × 歘 4 =- 歘 2 . 思维突破 设向量 a 与 b 的夹角为θ,则 a 在 b 上的投影向量为|a|cosθ || ,b 在 a 上的投影向量为 |b|cosθ || ,注意区分两者之间的差异. 4-1 已知向量 a,b 的夹角为 120°,且|a|=1,|b|=2,则向量 a+b 在向量 a 上的投影向量 是 . 答案 0 解析 ∵向量 a,b 的夹角为 120°, 且|a|=1,|b|=2, ∴(a+b)·a=a2+a·b=12+1×2×cos120°=0, ∴向量 a+b 在向量 a 上的投影向量是 0. 1.设 e1,e2 是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是( ) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1 C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1 答案 C 设 e1 与 e2 的夹角为θ,则 e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=±1,所以|e1·e2|=1. 2.已知非零向量 a,b,若 a+2b 与 a-2b 互相垂直,则 || || =( ) A. 1 4 B.4 C. 1 2 D.2 答案 D ∵(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=0, ∴|a|=2|b|,∴ || || =2. 3.在△ABC 中,若 歘 · + 歘 2 =0,则 在 歘 上的投影向量为( ) A. 歘 B. 1 2 歘 C. 歘 D. 1 2 歘 答案 A ∵0= 歘 · + 歘 2 = 歘 ·( + 歘 )= 歘 · 歘 ,∴ 歘 ⊥ 歘 ,∴ 与 歘 的夹角为锐角,∴ 在 歘 上的投影向量为 歘 . 4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C 设向量 a,b 的夹角为θ. 由题意得 a·c=a·(a+b)=|a|2+|a|·|b|cosθ=0, 所以 cosθ=- 1 2 .又θ∈[0,π],所以向量 a,b 的夹角为 120°. 5.已知向量 a 与 b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 10 ,求|b|. 解析 因为|2a+b|= 10 , 所以(2a+b)2=10, 所以 4a2+4a·b+b2=10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°, 且|a|=1, 所以 4×12+4×1×|b|× 2 2 +|b|2=10, 整理,得|b|2+2 2 |b|-6=0, 解得|b|= 2 或|b|=-3 2 (舍去). 逻辑推理——利用向量判断三角形形状 在△ABC 中, 歘 =c, =a, 歘 =b,且 a·b=b·c=c·a,试判断△ABC 的形状. 解析 在△ABC 中,易知 歘 + + 歘 =0, 即 a+b+c=0, 因此 a+b=-c,a+c=-b, 从而 ( + ) 2 = (-) 2 , ( + ) 2 = (-) 2 , 2 + 2 + 2 · = 2 , 2 + 2 + 2 · = 2 ,两式相减可得 b2+2a·b-c2-2a·c=c2-b2, 则 2b2+2(a·b-a·c)=2c2, 因为 a·b=a·c, 所以 2b2=2c2,即|b|=|c|. 同理可得|a|=|b|,故| 歘 |=| |=| 歘 |, 即△ABC 是等边三角形. 素养探究:解题的关键是利用 a+b+c=0,对数据进行整理、转化,利用方程思想可得到 a、 b、c 中两个向量的长度之间的关系,过程中体现逻辑推理核心素养. 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足| - |=| + -2 歘 |,则△ABC 的形状为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案 B + -2 歘 = - 歘 + - 歘 = 歘 + 歘 , - = = 歘 - 歘 , 又| - |=| + -2 歘 |,所以| 歘 - 歘 |=| 歘 + 歘 |, 所以| 歘 - 歘 |2=| 歘 + 歘 |2,即 歘 · 歘 =0, 所以 AB⊥AC.故△ABC 为直角三角形. 1.已知|a|=2,|b|=1,且 a 与 b 的夹角为 π 3 ,则向量 m=a-4b 的模为( ) A.2 B.2 3 C.6 D.12 答案 B 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则 歘 · 歘 =( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 答案 D 3.(2018 课标全国Ⅱ,4,5 分)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B 4.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量 a 与 a-b 的夹角为( ) A. π 6 B. π 3 C. 5π 6 D. 2π 3答案 A |a-b|= (-) 2 = 2 + 2 -2 · = 3 ,设向量 a 与 a-b 的夹角为θ,则 cosθ= · (-) |||-| = 22 -1 2 × 3 = 3 2 ,又θ∈[0,π],所以θ= π 6 . 5.已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角是 90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则 k 的值为( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 答案 B 因为 c⊥d,所以 c·d=0, 即(2a+3b)·(ka-4b)=0, 所以 2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0, 所以 2k=12,所以 k=6. 6.已知|b|=5,a·b=12,则向量 a 在 b 方向上的投影向量为 . 答案 12 25 b 解析 a 在 b 方向上的投影向量为|a|·cosθ· || = · 2 ·b= 12 25 b. 7.已知向量 a,b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10 ,则|b|= . 答案 3 2解析 |2a-b|= 10 ⇒(2a-b)2=10⇒4+|b|2-4|b|·cos45°=10⇒|b|=3 2 . 8.若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为 . 答案 - 1 3解析 设 a 与 b 的夹角为θ, 因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2. 又|a|=|a+2b|, 所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b =|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ =13|b|2+12|b|2cosθ, 即 9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ, 故有 cosθ=- 1 3 . 9.已知非零向量 a,b 满足|a|=1,(a-b)·(a+b)= 1 2 ,且 a·b= 1 2 . (1)求向量 a,b 的夹角θ; (2)求|a-b|. 解析 (1)因为(a-b)·(a+b)= 1 2 , 所以 a2-b2= 1 2 ,即|a|2-|b|2= 1 2 . 又|a|=1,所以|b|= 2 2 . 因为 a·b= 1 2 ,所以|a|·|b|cosθ= 1 2 , 所以 cosθ= 2 2 , 所以向量 a,b 的夹角θ为 45°. (2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2= 1 2 , 所以|a-b|= 2 2 . 10.(多选题)设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是( ) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 不垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案 ACD 根据向量数量积的分配律知 A 正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 垂直,B 错误; 因为 a,b 不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C 正确;易 知 D 正确. 11.在△ABC 中,∠C=90°,| 歘 |=6,点 P 满足|CP|=2,则 歘 · 的最大值为( ) A.9 B.16 C.18 D.25 答案 B 取 AB 的中点 D,连接 CD, 因为∠C=90°,| 歘 |=6, 所以| |= 1 2 | 歘 |=3. 设 与 的夹角为α, 则 歘 · =( + 歘 )·( + ) = 2 + ·( 歘 + )+ 歘 · = 2 + ·( 歘 + ) =22+ ·2 =4+2| |·| |cosα =4+2×2×3cosα=4+12cosα, 所以当α=0°时, 歘 · 有最大值 16. 12.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则 a 与 b 的夹角为 ,|2a- b|= . 答案 π 3 ;2 7解析 因为 a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2, 所以 a·b=3. 设 a 与 b 的夹角为θ,则 cosθ= · |||| = 1 2 ,又θ∈[0,π],所以θ= π 3 . 因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28, 所以|2a-b|=2 7 . 13.已知圆 O 是△ABC 的外接圆,M 是 BC 的中点,AB=4,AC=2,则 歘 · 歘 = . 答案 5 解析 因为 M 是 BC 的中点,所以 歘 = 1 2 ( 歘 + 歘 ), 又 O 是△ABC 的外接圆圆心, 所以 歘 · 歘 =| 歘 || 歘 |cos∠BAO= 1 2 ·| 歘 |2=8, 同理, 歘 · 歘 = 1 2 | 歘 |2=2, 所以 歘 · 歘 = 1 2 ( 歘 + 歘 )· 歘 = 1 2 歘 · 歘 + 1 2 歘 · 歘 =4+1=5. 14.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,且它们之间的夹角均为 120°. (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求 k 的取值范围. 解析 (1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间的夹角均为 120°,所以(a-b)·c=a·c- b·c=|a||c|·cos120°-|b|·|c|cos120°=0, 所以(a-b)⊥c. (2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即 k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为 a·c=a·b=b·c=cos120°=- 1 2 , 所以 k2-2k>0,解得 k<0 或 k>2. 即 k 的取值范围是 k<0 或 k>2. 15.在△ABC 中, 歘 ⊥ 歘 ,M 是 BC 的中点. (1)若| 歘 |=| 歘 |,求向量 歘 +2 歘 与向量 2 歘 + 歘 的夹角的余弦值; (2)若 O 是线段 AM 上任意一点(不与 A,M 重合),且| 歘 |=| 歘 |= 2 ,求 歘 · + · 歘 的最小 值. 解析 (1)设向量 歘 +2 歘 与向量 2 歘 + 歘 的夹角为θ, 则 cosθ= (歘 +2歘 ) · (2歘 +歘 ) |歘 +2歘 | · |2歘 +歘 | , 令| 歘 |=| 歘 |=a, 则 cosθ= 22 +22 5a · 5a = 4 5 . 即向量 歘 +2 歘 与向量 2 歘 + 歘 的夹角的余弦值为 4 5 . (2)∵| 歘 |=| 歘 |= 2 ,∴| 歘 |=1, 设| 歘 |=x(0