【数学】2020届一轮复习北师大版等差数列作业 11页

‎1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),5)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=3,若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前n项和的最大值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.3 B. -1 C.-5 D.-3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018浙江杭州地区重点中学期中,14)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,且S5·S6=-15,则d的取值范围是　　　　　　　　;若a1=-7,则d的值为　　　　. ‎ 答案　(-∞,-2]∪[2,+∞);3或 方法2　等差数列的判定方法 ‎1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,4)已知数列{an}是等差数列,则数列{bn}一定为等差数列的是(　　)‎ A.bn=|an| B.bn= C.bn=-an D.bn=‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017浙江金华十校调研,6)若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,记bn=,则(　　)‎ A.数列{bn}是等差数列,且公差为d B.数列{bn}是等差数列,且公差为2d C.数列{an+bn}是等差数列,且公差为d D.数列{an-bn}是等差数列,且公差为 答案　D　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·浙江卷题组 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2016浙江,6,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且 ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,‎ ‎|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.‎ ‎(P≠Q表示点P与Q不重合)‎ 若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.{Sn}是等差数列 B.{}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{}是等差数列 答案　A　‎ ‎2.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)‎ A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0‎ 答案　B　‎ ‎3.(2014浙江文,19,14分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.‎ ‎(1)求d及Sn;‎ ‎(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.‎ 解析　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,‎ 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.‎ 因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),‎ 所以(2m+k-1)(k+1)=65.‎ 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故 所以 评析　本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力.‎ 考点二　等差数列的性质及应用 ‎　(2017浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2018课标全国Ⅰ理,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ理,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 答案　C　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ理,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ A.-24 B.-3 C.3 D.8‎ 答案　A　‎ ‎4.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ 答案　C　‎ ‎5.(2018北京理,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　. ‎ 答案　an=6n-3‎ ‎6.(2017课标全国Ⅱ理,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=　　　　. ‎ 答案　‎ ‎7.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. ‎ 答案　20‎ ‎8.(2016北京,12,5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎9.(2018北京文,15,13分)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求++…+.‎ 解析　(1)设{an}的公差为d.‎ 因为a2+a3=5ln 2,‎ 所以2a1+3d=5ln 2.‎ 又a1=ln 2,所以d=ln 2.‎ 所以an=a1+(n-1)d=nln 2.‎ ‎(2)因为=eln 2=2,==eln 2=2,‎ 所以{}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 所以++…+=2×=2(2n-1).‎ ‎10.(2016山东,18,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.‎ 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由即 可解得b1=4,d=3.‎ 所以bn=3n+1.‎ ‎(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.‎ 又Tn=c1+c2+…+cn,‎ 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],‎ ‎2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],‎ 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]‎ ‎=3×‎ ‎=-3n·2n+2.‎ 所以Tn=3n·2n+2.‎ 方法总结　若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前n项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错.‎ 评析　本题主要考查了等差数列及前n项和,属中档题.‎ ‎11.(2014大纲全国,18,12分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.‎ 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,‎ 于是10+3d≥0,10+4d≤0.‎ 解得-≤d≤-.‎ 因此d=-3.‎ 故数列{an}的通项公式为an=13-3n.(6分)‎ ‎(2)bn==.(8分)‎ 于是Tn=b1+b2+…+bn ‎=‎ ‎==.(12分)‎ 评析　本题考查了等差数列的定义及其前n项和、裂项相消法求数列前n项和.第(1)问的解题关键在于分析已知条件“a2为整数”“Sn≤S4”中隐含的条件;第(2)问,对通项公式bn进行裂项相消的过程中易漏了系数而导致错解.‎ 考点二　等差数列的性质及应用 ‎1.(2015北京,6,5分)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)‎ A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 ‎ B.若a1+a3<0,则a1+a2<0‎ C.若0 ‎ D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=　(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.6‎ 答案　B　‎ ‎3.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎4.(2014北京,12,5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,{an}的前n项和最大. ‎ 答案　8‎ ‎5.(2014江苏,20,16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.‎ ‎(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;‎ ‎(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;‎ ‎(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.‎ 解析　(1)证明:由已知得,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.‎ 所以{an}是“H数列”.‎ ‎(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.‎ 当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.‎ 因此d的值为-1.‎ ‎(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).‎ 令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*),‎ 下证{bn}是“H数列”.‎ 设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.‎ 同理可证{cn}也是“H数列”.‎ 所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).‎ 评析　本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力.‎ C组　教师专用题组 考点　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2014福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.8 B.10 C.12 D.14‎ 答案　C　‎ ‎2.(2014辽宁,8,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则(　　)‎ A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0‎ 答案　C　‎ ‎3.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. ‎ 答案　27‎ ‎4.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.‎ 解析　本题考查等差、等比数列.‎ ‎(1)设{an}的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2.‎ 故{an}的通项公式为an=(-2)n.‎ ‎ (2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·.‎ 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·‎ ‎=2=2Sn,‎ 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.‎ 方法总结　等差、等比数列的常用公式:‎ ‎(1)等差数列:‎ 递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.‎ 通项公式:an=a1+(n-1)d.‎ 前n项和公式:Sn==na1+d.‎ ‎(2)等比数列:‎ 递推关系式:=q(q≠0),常用于等比数列的证明.‎ 通项公式:an=a1·qn-1.‎ 前n项和公式:Sn=‎ ‎(3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:=b或等比中项:a·c=b2来证明.‎ ‎5.(2015福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2.‎ ‎(2)由(1)可得bn=2n+n.‎ 所以b1+b2+b3+…+b10‎ ‎=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)‎ ‎=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)‎ ‎=+‎ ‎=(211-2)+55=211+53=2 101.‎ 评析　本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题4分,共12分)‎ ‎1.(2019届浙江名校协作体高三联考,9)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若存在正整数n0,对任意正整数m,使得·<0恒成立,则下列结论不一定成立的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a1d<0 B.|Sn|有最小值 C.·>0 D.·>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018浙江温州高三质量检查,5)已知数列{an}满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-3 B.3 C.- D.‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列{an},Sn表示前n项的和,a5+a11>0,a6+a9<0,则满足Sn<0的正整数n的最大值是(　　)‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ 答案　C　‎ 二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)‎ ‎4.(2019届镇海中学期中考试,16)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,现给出以下结论:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.其中正确的是　　　　(填序号). ‎ 答案　①③④‎ ‎5.(2018浙江诸暨高三上学期期末,11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=5,S3=12,则公差d=　　　　;通项公式an=　　　　. ‎ 答案　1;n+2‎ ‎6.(2018浙江名校协作体,12)已知{an}是公差为-2的等差数列,Sn为其前n项和,若a2+1,a5+1,a7+1成等比数列,则a1=　　　　,当n=　　　　时,Sn有最大值. ‎ 答案　19;10‎ 三、解答题(共45分)‎ ‎7.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,20)设正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且1+,3,1-成等差数列(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:-1<++…+≤- (n∈N*).‎ 解析　(1)由题意知-=4,=4,(2分)‎ 所以数列{}是以4为首项,4为公差的等差数列,所以=4n,‎ 又an>0,所以Sn>0,所以Sn=2.(4分)‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2-2,‎ 当n=1时,a1=2也满足上式,‎ 所以an=2-2(n∈N*).(6分)‎ ‎(2)由(1)知Sn=2,所以==>=-.(8分)‎ 所以++…+>-1.(10分)‎ 又因为=<=-(n≥2).(12分)‎ 当n≥2时,++…+≤+-1=-.(14分)‎ 当n=1时上式也成立,‎ 所以-1<++…+≤- (n∈N*).(15分)‎ ‎8.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,20)已知数列{an}中,a1=2,a2=6,且满足=2(n≥2且n∈N*).‎ ‎(1)求证:{an+1-an}为等差数列;‎ ‎(2)令bn=-,设数列{bn}的前n项和为Sn,求{S2n-Sn}的最大值.‎ 解析　(1)证明:由题意可得an+1+an-1=2an+2(n≥2),则(an+1-an)-(an-an-1)=2,‎ 所以{an+1-an}是公差为2的等差数列.‎ ‎(2)当n≥2时,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1).‎ 当n=1时,a1=2满足上式.‎ ‎∴an=n(n+1).‎ bn=-=-,∴Sn=10-,‎ ‎∴S2n=10-,‎ 设Mn=S2n-Sn=10-,‎ ‎∴Mn+1=10-,‎ ‎∴Mn+1-Mn=10-=10-=-,‎ 当n=1时,Mn+1-Mn=M2-M1=->0,即M1M3>M4>…,‎ ‎∴(Mn)max=M2=10×-1=,‎ ‎∴{S2n-Sn}的最大值为S4-S2=.‎ ‎9.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),22)有一列数a0,a1,a2,a3,…,对任意的m,n∈N,m≥n,满足2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知a1=2.‎ ‎(1)求a0,a2,a3 ;‎ ‎(2)证明:对一切n∈N*,数列{an+1-an}为等差数列;‎ ‎(3)若对一切n∈N*,λ>++…+恒成立,求λ的最小值.‎ 解析　(1)令m=n=0,得a0=0,‎ 令m=n=1,得a2=6,‎ 令m=2,n=1,得a3=12.‎ ‎(2)证明:令n=1,得2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)=(am-am-1)+2.所以数列{an+1-an}是公差为2的等差数列.‎ ‎(3)因为an+1-an=(a1-a0)+n×2=2(n+1),‎ 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+…+2+0=n(n+1).‎ 所以++…+=++…+=1-,要使λ>1-恒成立,λ的最小值为1.‎