浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数第1节平面向量的概念及线性运算含解析 14页

第1节　平面向量的概念及线性运算 考试要求　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ 知 识 梳 理 ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0‎ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 ‎0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：a＋b＝b＋a. ‎ ‎(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b a－b＝a＋(－b)‎ 的差 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．‎ ‎2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 ＝(＋)．‎ ‎3.＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断下列说法的正误．‎ ‎(1)零向量与任意向量平行．(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ ‎(5)在△ABC中，D是BC中点，则＝(＋)．(　　)‎ 解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行．‎ ‎(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)‎ A.① B.③ ‎ C.①③ D.①②‎ 解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.‎ 答案　A ‎3.(2019·绍兴一中适考)在△ABC中，＝，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.－ 解析　因为＝.由向量的减法运算得2(－)＝－，则＝＋.‎ 答案　B ‎4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.‎ 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与 a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.‎ 答案　 ‎5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________(用a，b表示).‎ 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－ ‎＝－a－b.‎ 答案　b－a　－a－b ‎6.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.‎ 解析　如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝－＋.又＝λ1＋λ2，且与不共线，所以λ1＝－，λ2＝.‎ 答案　－　 考点一　平面向量的概念 ‎【例1】 下列命题中不正确的是________(填序号).‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c.‎ 解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.‎ ‎②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，‎ ∥且，方向相同，因此＝.‎ ‎③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ 答案　①‎ 规律方法　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.‎ ‎【训练1】 下列命题中正确的是________(填序号).‎ ‎①有向线段就是向量，向量就是有向线段；‎ ‎②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.‎ 解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；‎ ‎②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；‎ ‎③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.‎ 答案　③‎ 考点二　平面向量的线性运算 ‎【例2】 (1)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎(2)(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析　(1)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ ‎(2)法一　如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.‎ 法二　＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.‎ 答案　(1)　－　(2)A 规律方法　(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.‎ ‎(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.‎ ‎【训练2】 (1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A.1 B. ‎ C. D. ‎(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么＝(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 解析　(1)∵＝＋＝＋，‎ ‎∴2＝＋，即＝＋.‎ 故λ＋μ＝＋＝.‎ ‎(2)在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，‎ 所以＝.‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－，故选D.‎ 答案　(1)D　(2)D 考点三　共线向量定理及其应用 ‎【例3】 设两个非零向量a与b不共线.‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.‎ ‎(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，又它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.‎ ‎(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是不共线的两个非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.‎ 规律方法　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ ‎(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.‎ ‎【训练3】 (1)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)‎ A.{0} B.∅ ‎ C.{－1} D.{0，－1}‎ ‎(2)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)‎ A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 解析　(1)因为＝－，所以x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，因为A，B，C三点共线，‎ 所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.‎ 当x＝0时，x2＋x＋＝＝0，此时B，C两点重合，不合题意.‎ ‎(2)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，‎ ‎∴，共线，又有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.故选B.‎ 答案　(1)C　(2)B 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A.0 B. C. D. 解析　由题干图知＋＋＝＋＋＝＋＝.‎ 答案　D ‎2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a 解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.‎ 答案　B ‎3.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为(　　)‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　由题知结果为零向量的是①④，故选B.‎ 答案　B ‎4.在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.－a＋b C.a－b D.－a－b 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.‎ 答案　A ‎5.(2019·北京昌平区二模)设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　存在实数λ，使得a＝λb，‎ 说明向量a，b共线，当a，b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，‎ 当a，b反向时，|a＋b|＝|a|＋|b|不成立，所以充分性不成立.‎ 当|a＋b|＝|a|＋|b|成立时，有a，b同向，存在实数λ，使得a＝λb成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的必要不充分条件.‎ 答案　B ‎6.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.‎ 答案　D ‎7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝(　　)‎ A. B.2 ‎ C.3 D.4 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.‎ 答案　D ‎8.设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)‎ A.－2 B.－1 ‎ C.1 D.2‎ 解析　∵＝a＋b，＝a－2b，‎ ‎∴＝＋＝2a－b.‎ 又∵A，B，D三点共线，∴，共线.‎ 设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，‎ ‎∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.‎ 答案　B ‎9.已知O为△ABC内一点，且满足＋λ＋(λ－1)＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为，则λ的值为(　　)‎ A. B.2 ‎ C. D. 解析　＋λ(＋)－＝0，所以＝λ(＋).设G为BC的中点，所以＝2λ，所以点O在过点G且与AC平行的直线上，分别过点B，C作BF⊥OA，CE⊥OA，且设直线AO与BC交于H，因为＝，△AHC∽△FHB，所以＝＝，所以＝＝3，所以2λ＝＝3，得λ＝.‎ 答案　A 二、填空题 ‎10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个.‎ 解析　根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个.‎ 答案　3‎ ‎11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.‎ 解析　因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，‎ 已知＋＝λ，故λ＝2.‎ 答案　2‎ ‎12.向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.‎ 解析　由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.‎ 答案　④‎ ‎13.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.‎ 解析　＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.‎ 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.‎ 答案　直角三角形 ‎14.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析　由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，另取D′为BC中点，则＋＝2′，∴－＝2′，即A，M，D′共线，所以D和D′重合，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.‎ 答案　3‎ 能力提升题组 ‎15.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.‎ 答案　B ‎16.设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 ‎ C.重心 D.垂心 解析　作∠BAC的平分线AD.‎ ‎∵＝＋λ，‎ ‎∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，‎ ‎∴＝·，∴∥.‎ ‎∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.‎ 答案　B ‎17.(2019·北京西城区二模)如图，设P为△ABC内一点，且＝＋，则△ABP与△ABC的面积之比为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　如图，作PD∥AC交AB于点D，则＝＋，由题意，＝，＝，且∠ADP＋∠CAB＝180°，所以S△ADP＝|AD||DP|sin∠ADP＝×|AB|×|AC|sin∠CAB＝S△ABC，又＝，所以S△APB＝3S△ADP＝S△ABC，即＝.‎ 答案　 ‎18.(2020·成都一诊)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为________.‎ 解析　设＝x，‎ ‎∵P，G，Q三点共线，‎ ‎∴可设＝μ＋(1－μ)，‎ ‎∴＝λμ＋(1－μ)x，‎ ‎∵G为△ABC的重心，‎ ‎∴＝(＋)，‎ ‎∴＋＝λμ＋(1－μ)x，‎ ‎∴两式相乘得＝λxμ(1－μ)，①‎ ‎∵＝，∴λx＝②，‎ ‎②代入①即＝μ(1－μ)解得μ＝或，即λ＝或.‎ 答案　或