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- 2021-06-16 发布
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专练51 椭圆
命题范围:椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质
[基础强化]
一、选择题
1.椭圆+=1上一点M到其中一个焦点的距离为3,则点M到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长为( )
A.2 B.4
C.6 D.12
3.[2019·北京卷]已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
4.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为10,则动点P的轨迹方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.已知椭圆的长轴长为8,离心率为,则此椭圆的标准方程是( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
6.曲线+=1与+=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
7.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
8.[2020·西宁一中高三测试]设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2为直角三角形,则△PF1F2的面积为( )
A.3 B.3或
C. D.6或3
9.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1- B.2-
C. D.-1
二、填空题
10.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
11.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率为________.
12.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥,若△PF1F2的面积为9,则b=________.
[能力提升]
13.[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
14.[2020·昆明一中高三测试]已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
15.F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率的取值范围是________.
16.[2019·浙江卷]已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.
专练51 椭圆
1.D ∵a=4,由椭圆的定义知,M到另一个焦点的距离为2a-3=2×4-3=5.
2.B 由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.
3.B 由题意得,=,∴=,又a2=b2+c2,∴=,=,∴4b2=3a2.故选B.
4.B 依题意,动点P的轨迹是椭圆,且焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),由c=4,2a=10,即a=5,得b==3,则椭圆方程为+=1.
5.B ∵2a=8,∴a=4,e=,∴c=3,∴b2=a2-c2=16-9=7,∴椭圆的标准方程为+=1或+=1.
6.D ∵c2=25-k-(9-k)=16,∴c=4,
∴两曲线的焦距相等.
7.C 由题可知椭圆的焦点落在x轴上,c=2,
∴a2=4+c2=8,∴a=2,∴e===.
8.C 由已知a=2,b=,c=1,
若P为短轴的顶点(0,)时,∠F1PF2=60,△PF1F2为等边三角形,
∴∠P不可能为直角,
若∠F1=90°,则|PF1|==,
S△PF1F2=··2c=.
9.D
不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
∵∠PF2F1=60,∴|F1F2|=2c,∴|PF2|=c,
|PF1|=c,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=(+1)c=2a.
∴e===-1.
10.(3,4)∪(4,5)
解析:由题意可知
解得3b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1.故选B.
14.A 由题意得(0,0)到直线bx-ay+2ab=0的距离为a,∴=a,∴a2+b2=4b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴=,∴e=.
15.
解析:设P0为椭圆+=1的上顶点,由题意得∠F1P0F2≥90°,
∴∠OP0F2≥45°,∴≥sin45°,∴e≥,
又00),由题意知F(-2,0),所以线段FP的中点M在圆x2+y2=4上,所以2+2=4,又点P(m,n)在椭圆+=1上,所以+=1,所以4m2-36m-63=0,所以m=-或m=(舍去),n=,所以kPF==.
优解:如图,取PF的中点M,连接OM,
由题意知|OM|=|OF|=2,设椭圆的右焦点为F1,连接PF1,在△PFF1中,OM为中位线,所以|PF1|=4,由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=6,所以|PF|=2.
因为M为PF的中点,所以|MF|=1.在等腰三角形OMF中,过O作OH⊥MF于点H,所以|OH|==,所以kPF=tan∠HFO==.
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