北师版高中数学必修一第11讲：对数函数（教师版） (2) 8页

1 对数函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探 索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y=a x 与对数 函数y=loga x 互为反函数. （a > 0, a≠1） 一、对数函数的定义： 函数 xy alog )10(  aa 且 叫做对数函数。 二、对数函数的图像和性质： a   0 1a  图 像 性 质 定义域：  0, 值域： R 过点 1,0 ，即当 1x  时， 0y  )1,0(x 时， 0y ； ),1( x 时， 0y )1,0(x 时， 0y ； ),1( x 时， 0y 在 0, 上是增函数 在 0, 上是减函数 三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类： 2 1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类 讨论； 2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较； 3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。 四、对数不等式的解法：                     1 log log 0 0 1 log log 0 a a a a f x g xa f x g x f x f x g xa f x g x f x          当 时， 与 同解。 当 时， 与 同解。 五、对数方程常见的可解类型有： 形如         log log 0 1, 0, 0a af x g x a a f x g x    且 的方程，化成    f x g x 求 解； 形如  log 0aF x  的方程，用换元法解； 形如    log f x g x c 的方程，化成指数式    c f x g x   求解 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。 类型一 求函数的定义域 例 1：求下列函数的定义域： (1)y＝ lg 2－x ； (2)y＝ 1 log3 3x－2 ； 解析：(1)由题意得 lg(2－x)≥0， 即 2－x≥1，∴x≤1， 则 y＝ lg 2－x 的定义域为{x|x≤1}． (2)欲使 y＝ 1 log3 3x－2 有意义， 应有 log3(3x－2)≠0，∴ 3x－2>0 3x－2≠1 . 解得 x>2 3 ，且 x≠1. 答案：(1) {x|x≤1}． (2) {x| x>2 3 ，且 x≠1.}． 练习 1：(2014～2015 学年浙江舟山中学高一上学期期中测试)函数 f(x)＝ 1 ln x＋1 ＋ 4－x2 的定义域为________________． 答案：(－1,0)∪(0,2] 3 练习 2：(2014·江西理，2)函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案: C 类型二 应用对数函数的性质比较数的大小 例 2：比较下列各组中两个数的大小： (1)log23.4 和 log28.5； (2)log0.53.8 和 log0.52； 解析：(1)∵y＝log2x 在 x∈(0，＋∞)上为增函数，且 3.4<8.5，∴log23.42，∴log0.53.8c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案：D 练习 2：(2014·天津文，4)设 a＝log2π，b＝log1 2 π，c＝π－2，则( ) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a 答案：C 类型三 与对数函数有关的图象问题 例 3：函数 y＝log1 2 |x|的大致图象是( ) 解析：当 x＝1 时，y＝log1 2 1＝0，排除 A； 当 x＝2 时，y＝log1 2 2＝－1，排除 B、C、，故选 D． 4 答案: D 练习 1：函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( ) 答案: A 练习 2：已知 a>0 且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是下图中的( ) 答案：B 类型四 求反函数 例 4：求函数 y＝2x＋1(x<0)的反函数． 解析: 由 y＝2x＋1，得 2x＝y－1， ∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)． 又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋1<2， ∴所求函数的反函数为 y＝log2(x－1)(11，函数 f(x)＝logax 在区间 [a,2a]上的最大值与最小值之差为1 2 ，则 a 等于( ) A．4 B．2 2 C．2 D． 2 答案：A 3、(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ x＋1 B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 答案：A 4、(2014～2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 y＝lg(x2－4x－5)的值 6 域为( ) A．(－∞，＋∞) B．(－1,5) C．(5，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 5、．函数 y＝1－ x－1(x≥2)的反函数为( ) A．y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0) C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0) 答案: D 6、函数 y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,3) D．(3,1) 答案: D _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1．已知 a>0 且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是下图中的( ) 答案：B 2．(2015·广东理，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝ 1＋x2 B．y＝x＋1 x C．y＝2x＋1 2x D．y＝x＋ex 答案：D 3．函数 y＝x＋2，x∈R 的反函数为( ) 7 A．x＝2－y B．x＝y－2 C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R 答案：D 4．已知函数 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称， 若 g(a)＝1，则实数 a 的值为( ) A．－e B．－1 e C．1 e D．e 答案：C 5．(2014～2015 学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数 y＝log2(4x－x2)的递增区间为 ________． 答案: (0,2] 能力提升 6．(2014～2015 学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)函数 f(x)＝ 3x2 1－x ＋lg(2＋5x－3x2) 的定义域是( ) A． －1 3 ，2 B． －1 3 ，1 C． －2，1 3 D． －∞，－1 3 答案：B 7．(2015·湖南文，8)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则 f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案：A 8. 已知函数 f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数 f－1(x)的图象过点(1,7)，则 f(x)是( ) A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 答案：A 9 ． (2014 ～ 2015 学 年 度 陕 西 宝 鸡 市 金 台 区 高 一 上 学 期 期 中 测 试 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ log2x x>0 3x x<0 ，则 f[f(1 4 )]＝________. 8 答案：1 9 10. 已知函数 f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)求函数 f(x)的定义域、值域； (2)求函数 f(x)的反函数 f－1(x)； (3)判断 f－1(x)的单调性． 答案：(1)要使函数 f(x)有意义，需满足 2－x>0，即 x<2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为 R. (2)由 y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即 x＝2－ay. ∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)． (3)f－1(x)在 R 上是减函数． 证明如下：任取 x1，x2∈R 且 x11，x1