山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.4投影与直观图 42页

1.1.4 投影与直观图 h' h' O O' l r r' 用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的 直观图 如何画出一个空间图形的 直观图？ 可以把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系． （ 1 ） 点的平行投影 ：已知图形 F ，直线 l 与平面 α 相交，过 F 上任一点 M 作直线 l ’ 平行于 l ，交平面 α 于点 M ’ ，则 M ’ 叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影 . （ 2 ） 图形的平行投影 ：如果图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F ’ ，则 F ’ 叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行投影，平面 α 叫做投射面， l 叫做投射线。 探究一： 问题 : 1. 如图，把一根直的细铁丝 ( 记为线段 AB) 放在三个不同位置 : (1) 铁丝平行于投射面 ; 按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为       . (2) 铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为       . (3) 铁丝垂直于射影面 ( 铁丝不一定要与投射面有公共点 ) ，按如图所示投射线，指出其平行投影 . 平行于投射面的正方形在平行投影下的投影形状完全不变，相当于把正方形在平行光线下“平移”到了地面． 平行于投射面的正方形的平行投影是什么？ 探究二： 探究二： 2 ．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上，在地面形成什么图形？ 平行投影的性质： 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质： 1 ．直线或线段的平行投影仍是 直线或线段 ; 2. 平行直线的平行投影是 平行或重合 的直线； 3 ．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长 ； 4 ．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 全等 ； 5 ．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比 等于 这两条线段长度的比。 2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ） （ A ）两条平行线 . （ B ）一点和一条直线 （ C ）两条相交直线 （ D ）两个点 D 1. 直线的平行投影可能是（ ） （ A ）点 （ B ）线段 （ C ）射线 （ D ）曲线 A 当投射线和投射面成 适当的角度 或改变图形 相对于投射面的位置 时，一个空间图形在投射面上的 平行投影 （平面图形）可以 形象地表示这个空间图形 。像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的 直观图 。 依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准，一种较为简单的画图标准是 斜二侧画法 。 一个水平放置的正方形，如何画出它的直观图呢？ x y o X ’ Y’ O’ 一个正方形，可用一个 平行四边形 来表示它 . 那么这个平行四边形有什么要求呢？ 探究四 阅读教材，回答下列问题： （ 1 ）已知图形与直观图的坐标系有何区别？ （ 2 ）已知图形中的线段与轴平行关系在直观图中是否改变？ （ 3 ）已知图形中与轴平行的线段长度在直观图中是否改变？ （ 1 ）在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 o 点．画直观图时，把它画成对应的 x′ 轴、 y′ 轴，使 　　　　　　　　　 ，它确定的平面表示水平平面。 （ 2 ）已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y′ 轴的线段． （ 3 ）已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半． 斜二测画法的步骤： 小结：“横同，纵半， 平行性不变” C 1 B 1 A1 例 1 画出水平放置的 正三角形的直观图 例 1. 画水平放置的正三角形的直观图 . (1) 在六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，对称轴 MN 所在直线为 y 轴，两轴交于点 O ．画对应的 x ’ ， y ’ 轴，两轴相交于点 O ’ ，使 ∠ x ’ O ’ y ’=45°. 变式练习：画出水平放置的正六边形的直观图 A B C D A 1 A 1 A 1 B 1 B 1 B 1 C 1 C 1 C 1 D 1 D 1 E 1 A B C A B C D E 你会画下列几何体的直观图吗？ 探究五 画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，阅读教材回答： （ 1 ） z 轴在已知图形和直观图中位置是否改变？ （ 2 ）在已知图形中与 z 轴平行的线段在直观图中平行关系是否改变？ （ 3 ）在已知图形中与 z 轴平行的线段的长度在直观图中是否改变？ 空间几何体的直观图的画法： 步骤： 画轴 → 画底面 成图 → 画侧棱 → 例 2. 画出高与底面边长相等的正三棱柱 . 接上例 : 例 2. 画出高与底面边长相等的正三棱柱 . 接上例 : A B C D 例 3*. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为 45° ，腰和上底的长均为 1 的等腰梯形，那么原四边形的面积是 . A B C D 变式练习： 如图所示， △A′B′C′ 是 △ABC 的直观图，并且 A′B′ ＝ A′C′=2 ， 那么 △ABC 面积是 . 3. 利用斜二测画法得到的： ① 三角形的直观图一定是三角形； ② 正方形的直观图一定是菱形； ③ 等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④ 菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的是 . 4. 下列说法中 ① 正方形的平行投影一定是菱形； ② 平行四边形的平行投影一定是平行四边形； ③ 三角形的平行投影一定是三角形； ④ 如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线 . 其中，正确的个数是 . 5*. 水平放置的 △ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 A′C′=3 ， B′C′=2 ，则 AB 边上的中线的实际长度为 _________. 6. 用斜二测画法画长 , 宽 , 高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 的直观图 6. 用斜二测画法画长 , 宽 , 高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 的直观图 4 1.5 6. 用斜二测画法画长 , 宽 , 高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 的直观图 6. 用斜二测画法画长 , 宽 , 高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 的直观图 6. 用斜二测画法画长 , 宽 , 高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 的直观图 总结 1. 平行投影的性质 ; 3. 坐标系的选取是画直观图的关键，选取不同的坐标系，画出的直观图可能不一样 . 2. 斜二测画法步骤 (1) 平面图形的斜二测画法 , (2) 简单几何体的斜二测画法； 家庭作业 亲自动手做一个正三棱锥、正四棱台、正六棱柱、圆锥、圆柱、圆台 .