九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（文科）试题 Word版含解析 23页

- 1 - 九师联盟 3 月在线公益联考 高三数学（理科） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设  1,2,3,4,5U  ，  1,2,3A  ，  2,4B  ，则 UA B Ið （ ） A.  1 B.  2 C.  1,2,3 D.  1,3 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意求出  1,3,5U B ð ，再与集合 A 求交集，即可得出结果. 【详解】因为  1,2,3,4,5U  ，  2,4B  ，所以  1,3,5U B ð ， 又  1,2,3A  ，所以  1,3UA BIð . 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基 础题型. 2.若i 是虚数单位，则 1 1 2 i i   （ ） A. 5 5 B. 10 5 C. 2 5 D. 1 5 【答案】B - 2 - 【解析】 【分析】 先利用复数的除法运算将复数先化简，然后利用复数模的计算公式计算即可. 【详解】 21 (1 )(1 2 ) 1 2 2 1 3 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5 i i i i i i ii i i             ， 所以 2 21 1 3 10| | ( ) ( )1 2 5 5 5 i i       . 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一 道基础题. 3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某 行业自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入 (y 千元 ) 与平均每天 的工作时间 (x 小时 ) 进行调查统计，得出 y 与 x 具有线性相关关系，且线性回归方程为 12 60y x  ，若自由职业者平均每天工作的时间为 5 小时，估计该自由职业者年收入为 （ ） A. 50 千元 B. 60 千元 C. 120 千元 D. 72 千元 【答案】C 【解析】 【分析】 将 5x  代入回归直线即可求得结果. 【详解】令 5x  得： 12 5 60 120y     ，即估计该自由职业者年收入为120 千元. 故选：C . 【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题. 4.设 ln0.9a  ， 1 2 2log 3b  ， 0.014c  ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A. b a c  B. a c b  C. a b c  D. b c a  【答案】C - 3 - 【解析】 【分析】 首先判断哪些为正，哪些为负；正的中哪些大于 1，哪些小于 1 即可得到答案. 【详解】因为 ln0.9 0a   ， 1 1 2 2 2 10 log log 13 2b    ， 0.014 1c   ，所以 a b c  . 故选：C. 【点睛】本题考查对数式、指数式大小的比较，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 5.已知平面向量 a ，b 满足 2a  ， 3b  ，且 4a b   ，则向量 a 在b 方向上的投影是（ ） A. 4 3 B. 3 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据数量积的几何意义可知， a 在 b 方向上的投影为| a |与向量 a ，b 夹角的余弦值的乘积， 即可求得答案． 【详解】设向量 a  与b  的夹角是 ， 则向量 a  在b  方向上投影为 4cos 3 a ba b       . 故选： A 【点睛】本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的求解公式是解决问题的关键，属基础题． 6.函数 ( )sin( ) x xe e xf x x  的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. - 4 - 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. 【详解】函数  f x 的定义域为   ,0 0,   ，且        sin ( )sinx xx xe e x e e x f xxf x x           ，所以  f x 为奇函数，由此排除 CD 选项.而   0f   ，所以 B 选项错误. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 7.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监 算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子 算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》.小明计划从这十部书 中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是（ ） A. 1 2 B. 3 10 C. 2 5 D. 1 5 【答案】D 【解析】 【分析】 利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】从十部书中随机选择两部书共有 2 9 9(9 1) 2C  种方法，其中选择的两部书中含有《九 章算术》净 的方法为 9 种，所以所求的概率为 9 1 9(9 1) 5 2  . 故选：D. - 5 - 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 8.若执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值是( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案. 【详解】 0, 2,s k  4, 6,s k  16, 8,s k  32, 10,s k  52s  ，退出循环，输出 10k  . 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题. 9.要得到函数 siny x 的图象，需将函数 1cos 2y x 的图象上所有的点（ ） A. 向右平移 个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 2 ，纵坐标不变 B. 向左平移 个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 2 ，纵坐标不变 C. 向左平移 个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 D. 向右平移 个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 - 6 - 【分析】 因为 sin cos( )2y x x    ，所以将函数 1cos 2y x 的图象向右平移  个单位长度得到 1cos( )2 2y x   ，再将此图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 2 ，纵坐标不变即可得到函 数 siny x 的图象. 【详解】将函数 1cos 2y x 的图象向右平移 个单位长度，得到 1cos ( )2y x   ， 即函数 sin 2 xy  的图象，再将此图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 2 ，纵坐标不变， 所得图象对应的函数解析式为 siny x . 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力， 是一道中档题. 10.已知数列 1 na       是等差数列，若 2 4 4 6 6 2 1a a a aa a   ， 2 4 6 1 6a a a  ，则 3a  （ ） A. 2 5 B. 2 3 C. 2 5 或 2 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设数列 1 na       的公差为 d ，由已知可得 2 4 4 6 6 2 2 4 6 6a a a a a a a a a    ，即 2 4 6 1 1 1 6a a a    ，进一步 得到 4 1 2a  ，又 2 4 6 1 6a a a  ，可得公差 1 2d   ，即可得到 na 的通项，要注意 0na  . 【详解】设数列 1 na       的公差为 d ，由已知， 2 4 4 6 6 2 2 4 6 6a a a a a a a a a    ，即 2 4 6 1 1 1 6a a a    ， 又 1 na       是等差数列，所以 4 1 2a  ，又 2 4 6 1 6a a a  ，所以 2 6 1 1 3a a   ， 即 4 4 1 1( 2 )( 2 ) 3d da a    ， 24 4 3d  ，解得 1 2d   ， - 7 - 当 1 2d  时， 4 1 1 1 1( 4) 2 2n n na a      ， 2 na n  ，所以 3 2 3a  ； 当 1 2d   时， 4 1 1 1 1( 4) ( ) 42 2n n na a         ，此时 2 8na n   ， 8 0a  不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质及基本量的计算，考查学生的数学运算能力，是一道中档 题. 11.已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点， P 是双曲线C 上一点，若 1 2 6PF PF a  ， 1 2 0PF PF   ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的定义及 1 2 6PF PF a  ，可得 1 2 4 2 PF a PF a    或 1 2 2 4 PF a PF a    ，再由 1 2 0PF PF   得 到 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  即可建立 , ,a b c 的方程. 【详解】据题意，得 1 2 1 26 ,|| | | || 2PF PF a PF PF a    ， 1 2 4 2 PF a PF a    或 1 2 2 4 PF a PF a    ， 1 2 0PF PF    ， 1 2PF PF   ， 1 2 90F PF   ， 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F   ， 即 2 2 216 4 (2 )a a c  ， 2 2 5c a   ，故双曲线C 的离心率为 5 . 故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，此类题的关键是找到 , ,a b c 之间的关系，考查学生的数 学运算求解能力，是一道中档题. 12.如果定义在 R 上的函数  f x 满足:对于任意 1 2x x ，都有        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ,则称  f x 为“ M 函数”.给出下列函 - 8 - 数:① 2 2 1y x x    ；② 3 11 2 x y      ；③ x xy e e  ；④ ln , 0( ) 0, 0 x xf x x     其中为“ M 函数”的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题中条件，得到函数  f x 是定义在 R 上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得 出结果. 【详解】∵对于任意给定的不等实数 1 2x x， ，不等式        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   恒成立， ∴不等式等价为     1 2 1 2 0x x f x f x     恒成立， 即函数  f x 是定义在 R 上的减函数. ① 2 22 1 ( 1) 2y x x x        ，则函数在定义域上不单调. ②函数 3 11 2 x y      是由 1 , 3 12 t y t x      复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减， 满足条件. ③根据指数函数单调性可得： x xy e e  为减函数，满足条件. ④ ln , 0( ) 0, 0 x xf x x     .当 0x  时，函数单调递增，当 0x  时，函数单调递减，不满足条件. 综上满足“ M 函数”的函数为②③， 故选:B 【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调 性即可，属于常考题型. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 32 lny x x  在点 (1,2) 处的切线的斜率为____. 【答案】7 - 9 - 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义计算即可. 【详解】 ' 2 16y x x   ， 1 7xy    . 故答案为： 7 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到导数的运算法则，是一道容易题. 14.已知首项为 3 的等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 3 42S S S  ，则 2020a 的值为_____. 【答案】 20193 2  【解析】 【分析】 设等比数列 na 的公比为 q，由 2 3 42S S S  可得 3 42 0a a  ，进一步可得 q， na ，令 2020n  代入计算即可. 【详解】设等比数列 na 的公比为 q， 2 3 42S S S  ，      1 2 1 2 3 1 2 3 42 a a a a a a a a a         ， 3 42 0a a   ， 2q   ，又 1 3a  ， 13 ( 2)n na     ， 2019 2019 2020 3 ( 2) 3 2a       . 故答案为： 20193 2  【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易 题. 15.已知等边三角形 ABC 的三个顶点都在以点O 为球心、2 为半径的球面上，若三棱锥 O ABC 的高为 1，则三棱锥O ABC 的体积为_____. 【答案】 3 3 4 【解析】 【分析】 设等边 ABC 的中心为 D ，边长为 m ，由 2 2 2AD OD OA+ = ，得 2 2 23( ) 1 23 m   ，解得 - 10 - m，再利用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】设等边 ABC 的中心为 D ，边长为 m ，由题意， 2, 1OA OD  ，所以 2 2 2 21 3( )2 2AE AC CE m m m     ， 2 3 3 3AD AE m  ， 由 2 2 2AD OD OA+ = ，得 2 2 23( ) 1 23 m   ，所以 3m   （舍）或 3m  ， 所以三棱锥O ABC 的体积 1 1 1 3 33 3 sin60 13 3 2 4ABCV S OD             . 故答案为： 3 3 4 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，涉及到球的内接问题，考查学生的空间想象能力，数 学运算能力，是一道中档题. 16.已知 F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是 _____. 【答案】5 17 【解析】 【分析】 △PMF 的周长最小，即求| | | |PM PF 最小，过 P 做抛物线准线的垂线，垂足为Q ，转化为 求| | | |PM PQ 最小，数形结合即可求解. 【详解】如图，F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3）， 抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F（0，2），准线方程为 y＝﹣2. 过 P 作准线的垂线，垂足为Q ，则有| | | |PF PQ | | | | | | | | | | 5PM PF PM PQ MQ     ， - 11 - 当且仅当 , ,M P Q 三点共线时，等号成立， 所以△PMF 的周长最小值为 5 2 2( 4) (3 2)     5 17 . 故答案为：5 17 . 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.甲、乙两个班级（各 40 名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲、乙两个班学生 的成绩分成如下四组：[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100]，并分别绘制了如下的频率 分布直方图： 规定：成绩不低于 90 分的为优秀，低于 90 分的为不优秀. （1）根据这次抽查的数据，填写下面的 2 2 列联表： 优秀 不优秀 合计 甲班 - 12 - 乙班 合计 （2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？ 附：临界值参考表与参考公式  2 0P K k… 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ） 【答案】（1）填表见解析；（2）没有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图求出甲班、乙班优秀的人数即可； （2）直接利用卡方公式结合临界值参考表即可得到答案. 【详解】（1）由题意，甲班优秀的人数为 40 0.025 10=10  人， 乙班优秀的人数为 40 0.015 10=6  ， 所以 2 2 列联表，如下： 优秀 不优秀 合计 甲班 10 30 40 乙班 6 34 40 合计 16 64 80 - 13 - （2） 2 2 2 ( ) 80(10 34 30 6) 1.25 2.072( )( )( )( ) 40 40 16 64 n ad bcK a b c d a c b d              ， 所以没有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验，考查学生的数学运算能力，是一道容易 题. 18.已知在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， (cos cos cos ) 2 sin cosb B A C a B C  . （1）求 tanC 的值； （2）若 6a  ， 1cos 3B  ，求b . 【答案】（1） tan 2C  （2） 12 5 6 10b   【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 诱 导 公 式 及 正 弦 定 理 可 得 sin sin sin 2sin sin cosB A C A B C ， 进 一 步 得 到 sin 2cosC C 即可得到 tanC 的值； （2）由 tanC 的值得到sinC ， cosC ，由 1cos 3B  得到sin B ，利用sin sin( )A B C  计 算得到sin A ，再利用正弦定理即可得到b . 【详解】（1）因为 (cos cos cos ) 2 sin cosb B A C a B C  ， A B C    ， 所以 [ cos( ) cos cos ] 2 sin cosb A C A C a B C    ， 所以 sin sin 2 sin cosb A C a B C ，由正弦定理，得 sin sin sin 2sin sin cosB A C A B C . 又因为 (0, )A  ， (0, )B  ， (0, )C  ， 所以sin 2cosC C ， 所以 tan 2C  . （2）因为 tan 2C  ， (0, )C  ， 所以 2 5sin 5C  ， 5cos 5C  - 14 - 因为 1cos 3B  ， (0, )B  ， 所以 2 2sin 3B  ， 所以sin sin[ ( )]A B C   sin( )B C  sin cos cos sinB C B C  2 2 5 1 2 5 3 5 3 5     2 10 2 5 15  . 由正弦定理，得 6 sin sin b A B  ，即 6 2 10 2 5 2 2 15 3 b   ， 所以 12 5 6 10b   . 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及到诱导公式、两角和的正弦公式的应用，考 查学生的计算能力，是一道容易题. 19.如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C （侧棱垂直于底面，且底面三角形 ABC 是等边三角形） 中， 1BC CC ， , ,M N P 分别是 1 1, ,CC AB BB 的中点. （1）求证：平面 NPC ∥平面 1AB M ； - 15 - （2）在线段 1BB 上是否存在一点Q 使 1AB  平面 1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不 存在，也请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点 Q 在 B 处 【解析】 【分析】 （1）要证明平面 NPC ∥平面 1AB M ，只需证明CP ∥平面 1AB M ，NP ∥平面 1AB M 即可； （2）在线段 1BB 上存在一点Q ，它就是点 B ，连接 1 ,AQ MQ ，过点 A 作 AK 垂直于 BC ， 垂足为 K ，连接 1B K ，只需证明 1 1AB AQ ， 1QM AB ，再利用线面垂直的判定定理即 可得到证明. 【详解】证明：（1）因为 ,N P 分别是 1,AB BB 的中点， 所以 NP ∥ 1AB ， 又因为 NP  平面 1AB M ， 1AB  平面 1AB M ，所以 NP ∥平面 1AB M . 因为 ,M P 分别是 1 1,CC BB 的中点，四边形 1 1BBC C 为平行四边形， 所以 1CM PB ，且CM ∥ 1PB ， 所以四边形 1CMB P 是平行四边形， 所以 CP ∥ 1MB . 又因为CP Ë 平面 1AB M ， 1MB  平面 1AB M ， 所以 CP ∥平面 1AB M . 又因为 NP CP P  ， NP 平面 NPC ， CP  平面 NPC ， 所以平面 NPC ∥平面 1AB M . （2）在线段 1BB 上存在一点Q ，它就是点 B ，使得 1AB  平面 1A MQ . 连接 1 ,AQ MQ ，过点 A 作 AK 垂直于 BC ，垂足为 K ，连接 1B K . - 16 - 因为在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BC CC ，底面三角形 ABC 是等边三角形， 所以四边形 1 1ABB A 是正方形， 所以 1 1AB AQ . 易证 1MCQ KQB△ ≌△ ， 所以 1MQC KB Q   ， 所以 1 1 1 90MQC QKB KB Q QKB         ， 所以 1QM KB ， 因为 AK BC ，三棱柱 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱， 所以 AK 平面 1 1BBC C . 又因为QM  平面 1 1BBC C ， 所以 AK QM . 又因为 1AK KB K  ， AK  平面 1AKB ， 1KB  平面 1AKB ， 所以 QM  平面 1AKB . 又因为 1AB  平面 1AKB ，所以 1QM AB . 又 1AQ QM Q  ， 1AQ  平面 1A MC ，QM  平面 1A MQ ， 所以 1AB  平面 1A MQ . - 17 - 【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理的应用，考查学生的逻辑推 理能力，是一道中档题. 20.已知函数 2 1( ) ( )ax xf x ax    R . （1）当 1a  时，若1 3x  ，求函数 ( )f x 的最值； （2）若函数 ( )f x 在 2x  处取得极值，求实数 a 的值. 【答案】（1） min( ) 1f x  ， max 11( ) 3f x  （2） 1 4  【解析】 【分析】 （1）当 1a  时， 1( ) 1f x x x    ，求导得到 ( )f x 的单调性，利用单调性求得最值； （2）由题意 ' (2) 0f  ，解方程得到 a ，要注意检验. 【详解】（1）当 1a  时， 2 1 1( ) 1x xf x xx x      ， ' 2 1( ) 1f x x    ， 当1 3x  时， ' ( ) 0f x  ， 函数 ( )f x 在区间[1,3] 上单调递增， 当 1a  时， min( ) (1) 1f x f  ， max 11( ) (3) 3f x f  . （2） 2 1( ) ax xf x x   ，    '2 2 ' ' 2 1 1 ( ) ax x x ax x x f x x        2 2 1ax x  . 又 函数 ( )f x 在 2x  处取得极值， 2 ' 2 2 1(2) 02 af     ， - 18 - 1 4a   . 经验证知， 1 4a   满足题意. 综上，所求实数 a 的值是 1 4  . 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推 理能力，数学运算能力，是一道中档题. 21.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的焦距为 2，且长轴长是短轴长的 2 倍. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若过椭圆C 左焦点 F 的直线l 交椭圆C 于 ,A B 两点，点 P 在 x 轴非负半轴上，且点 P 到 坐标原点的距离为 2，求 PA PB  取得最大值时 PAB△ 的面积. 【答案】（1） 2 2 12 x y  （2） 3 2 2 【解析】 【分析】 （1）由题意， 2 2 2 2 , 1, , a b c a b c        解方程组即可； （2）分直线 l 垂直于 x 轴和直线l 不垂直于 x 轴两种情况讨论，当直线l 垂直于 x 轴时，易得 , ,P A B 三点坐标，再利用数量积的坐标运算即可算得 PA PB  ；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线l 方程为 ( 1)y k x  ，联立椭圆方程得到根与系数的关系，代 入 PA PB  的坐标表示中，即可得到关于 k 的函数，求出范围结合第一种情况即可得到 PA PB  取的最大值，进一步得到三角形的面积. 【详解】（1）据题意，得 2 2 2 2 , 1, , a b c a b c        解得 2 2a  ， 2 1b  ， - 19 - 椭圆C 的标准方程为 2 2 12 x y  . （2）据题设知， (2,0)P . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y . 讨论： 当直线l 垂直于 x 轴时， 1 2 1x x   ， 1 2 2y   ， 2 2 2y  或 1 2 1x x   ， 1 2 2 y  ， 2 2 2y   ， 2 2 17( 1 2) ( 1 2) 2 2 2PA PB                   ； 当直线l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 方程为 ( 1)y k x  . 据 2 2 ( 1), 1,2 y k x x y     得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     . 2 1 2 2 4 1 2 kx x k      ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ，    1 1 2 22, 2,PA PB x y x y         1 2 1 22 2x x y y        2 1 2 1 2 1 22 4 1 1x x x x k x x           2 2 2 1 2 2 21 2 4k x x k x x k          2 2 2 2 2 2 2 2 2 41 2 41 2 1 2 k kk k kk k           2 17 13 2 2 2 1k    17 2  . 综上， max 17( ) 2PA PB   ， - 20 - 此时 1 1 2 2 3 2[2 ( 1)]2 2 2 2 2PABS PF AB                     . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的最值问题，涉及到向量的数量积，考查学 生的数学运算求解能力，是一道中档题. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos , sin x y      （ 为参数），直线 l 的 参数方程为 ,x t y t    （ t 为参数）. （1）若以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试 求曲线C 的极坐标方程； （2）求直线 l 被曲线C 截得线段的长. 【答案】（1） 2 2 1 3sin     （2） 4 10 5 【解析】 【分析】 （1）直接利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）联立直线与椭圆方程得到两个交点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】（1） 2cos , sin , x y       2 2 2 2cos sin 12 x y          ， 即曲线C 的普通方程为 2 2 14 x y  ， 曲线C 的极坐标方程为 2 2( cos ) ( sin ) 14      ，即 2 2 1 3sin     . （2）直线l 的普通方程为 y x . - 21 - 解 2 2 1,4 , x y y x      得 2 5 ,5 2 5 ,5 x y     或 2 5 ,5 2 5 ,5 x y       直线 l 被曲线C 截得线段的长 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 4 10 5 5 5 5 5d                              . 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及弦长的计算，考查学生 的计算能力，是一道容易题. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知实数 , ,x y z 满足 2 4x y z   . （1）求 2 2 2x y z  的最小值； （2）若 y = x+ z ，求 xz 的最大值. 【答案】（1） 8 3 （2） max( ) 4xz  【解析】 【分析】 （1）直接利用柯西不等式即可得到； （2）将 y = x+ z 代入 2 4x y z   中得到 4x z   ，再利用基本不等式即可得到 xz 的 最大值. 【详解】（1）因为  2 2 2 2 2 2 21 ( 2) 1 ( 2 )x y z x y z        … ，当且仅当 1 2 1 x y z  时 等号成立， 即  2 2 2 26 ( 2 )x y z x y z   … ，当且仅当 1 2 1 x y z  时等号成立. 又因为 2 4x y z   ， 所以 2 2 2 8 3x y z  … ，当且仅当 2 3x  ， 4 3y   ， 2 3z  时等号成立. 即 2 2 2x y z  的最小值为 8 3 . （2）因为 2 4x y z   ， y = x+ z ， 所以 2( ) 4x x z z    ， - 22 - 所以 4x z   . 又因为 2 2 x zxz      ， 所以 4xz  ，即 max( ) 4xz  ，当且仅当 2x z   时，等号成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值，考查学生的运算求解能力， 是一道容易题. - 23 -