四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题4理 12页

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题（4）理 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合  2 3 2 0A x x x    ，  = 2 3 0B x x   ，则 A B  A． 33, 2      B． 33, 2     C． 31 2      ， D． 3 ,22      2．复数 iz 21 ，则 z 的模为 A． 21 B． 3 C． 21 D． 5 3．已知向量 (2, 4)m   ， (10, 8 3 )n x   ，若 //m n  ，则 x  A． 4 B． 4 C． 2 D． 2 4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全 年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线 图： 则下列结论中正确的是 - 2 - A．该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半 B．该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍 C．该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍 D．该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当 5．在 ABC 中， D 是 BC 上一点，且 1 3BD BC ，则 AD  A． 1 3AB AC  B． 1 3AB AC  C． 2 1 3 3AB AC  D． 1 2 3 3AB AC  6．某地区有 10000 名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布  120,9N ， 成绩在(117,126]之外的人数估计有 （附：若 X 服从 2( , )N   ，则   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        ） A．1814 人 B．3173 人 C．5228 人 D．5907 人 7．已知 0.2 3 0.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c   ，则 A． a b c  B． a c b  C．b c a  D． c a b  8．已知 ,a b 为两条不同的直线， ,  为两个不同的平面，且 a  ，b  ，则下列命题中 的假命题是 A．若 a ∥b ，则 ∥  B．若  ，则 a b r r C．若 ,a b 相交，则 ,  相交 D．若 ,  相交，则 ,a b 相交 9．已知抛物线 2y x 上的点 M 到其焦点的距离为 2，则 M 的横坐标是 - 3 - A． 3 2 B． 5 2 C． 7 4 D． 9 4 10．已知 1sin( )3 3    ，则sin( 2 )6    A． 7 9 B． 7 9  C． 7 9  D． 2 9  11．若存在 *, ,x y z R ，满足 2 xzy e z  ，且 2x z xe   ，则 ln lny x 的取值范围是 A． 1[ ,1]2 B．[ ln 2, 1 ln 2]e   C． 1[1 ln 2, ]2  D．[1 ln 2, 1 ln 2]e   12．已知点 P 是椭圆 2 2 : 116 4 x yM + ＝ 上的动点，过 P 作圆 2 2 1N x y： ＝ 的两条切线分别为切 于点 A B、 ，直线 AB 与 x y， 轴分别相交于 C D， 两点，则 COD△ （O 为坐标原点）的最小 面积为（ ） A．1 B． 1 2 C． 1 4 D． 1 8 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．在 9 2 1x x     的展开式中，常数项的值为______． 14．以抛物线 2 6y x  的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________ 15．函数 （ 是正实数）只有一个零点，则 的最大值为 . 16．在数列{an}中，已知 2 1 1 23 2 , 1, 3n n na a a a a     ，则数列{an}的通项公式 an=________ . 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 - 4 - （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）如图，在梯形 ABCD 中， 1/ / , 2 , 2, 6,cos 3AB CD BCD BAD BD AB BCD        ． （1）求 AD 的长； （2）求梯形 ABCD 的面积． 18．（12 分）某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的 得分情况.已知该题有两空，第一空答对得 3分，答错或不答得 0 分；第二空答对得 2 分，答 错或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校1468 份试卷中随机 抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表： 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 0 2 人数 198 802 人数 698 302 （1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分； （2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况 的频率（精确到 0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题得分 的数 - 5 - 学期望. 19．（12 分）如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， PA  平面 ABCD ， ABC 60   ， ,E F 分别是 ,BC PC 的中点． ( 1 ) 证明： AE PD ； ( 2 ) 若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值为 6 2 ，求二面角 E AF C  的余弦值． 20．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别是 1 2F F， ， ,A B 是其左 右顶点，点 P 是椭圆C 上任一点，且 1 2PF F 的周长为 6，若 1 2PF F 面积的最大值为 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）若过点 2F 且斜率不为 0 的直线交椭圆C 于 ,M N 两个不同点，证明：直线 AM 于 BN 的 交点在一条定直线上. 21．（12 分）已知函数  f x 的导函数为  f x ，且 1 4( ) (2) (13ln )2xf x f x f   . （1）求函数  f x 的解析式； （2）若函数 21( ) ( ) 2h x xf x x ax b    区间 (1, ) 上存在非负的极值，求 1 b a  的最大值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） - 6 - 在直角坐标系中，直线l 过定点 1,0 ，且倾斜角为  0    ，以坐标原点O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为  cos cos 8     ． (1)写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点，且 8 10AB  ，求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设函数   3 1f x x x    . （1）求不等式   2 3f x x  的解集； （2）若函数  f x 的最大值为 m ，且正实数 a 、b 满足 a b m  ，求 1 1 1 1a b   的最小值. 理科数学参考答案 1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B 11．D 12．D - 7 - 13．84 14． 2 23 92x y      15． 16． 2 1n  17．解：（1）因为 12 ,cos 3BCD BAD BCD      ， 所以 2cos 2cos 1BCD BAD    ，即 2 1cos 3BAD  ． 因为 (0, )BCD   ，所以 0, 2BAD      ，所以 3cos 3BAD  ． 在 ABD△ 中，由余弦定理得， 2 2 2 2 cosBD AD AB AD AB BAD      ， 即 2 34 6 2 6 3AD AD     ，解得 2AD  ． （2）由（1）可得 2 2 2AD BD AB  ，所以 2ADB   ，所以 3sin 3ABD  ． 因为 / /AB CD 且 ABD 为锐角，所以 BDC ABD   ， 所以 23 6sin sin ,cos 1 sin3 3BDC ABD BDC BDC         ． 由 1cos 3BCD   ，得 2 2sin 3BCD  ． 2 2 6 1 3 3sin sin( ) sin cos cos sin 3 3 3 3 3CBD BCD BDC BCD BDC BCD BDC                     ． 在 BCD 中，由正弦定理得， sin sin DC BD CBD BCD   ，所以 sin 6 sin 2 BD CBDDC BCD    ， 所以梯形 ABCD 的面积 - 8 - 1 1 3 2sin2 2 2ABD BCDS S S AD BD BD CD BDC            ． 18．（1）设样本试卷中该题的平均分为 x ，则由表中数据可得: 0 198 3 802 0 698 2 302 3.011000x         ， 据此可估计该校高三学生该题的平均分为 3.01分. （2）依题意，第一空答对的概率为 0.8，第二空答对的概率为 0.3，  的可能取值为 0,2,3,5 . ( 0) (1 0.8) (1 0.3) 0.14P        ； ( 2) (1 0.8) 0.3 0.06P       ； ( 3) 0.8 (1 0.3) 0.56P       ； ( 5) 0.8 0.3 0.24P      . 该同学这道题得分 的分布列如下：  0 2 3 5 P 0.14 0.06 0.56 0.24 所以该同学这道题得分 的数学期望为： 0 0.14 2 0.06 3 0.56 5 0.24 3E          . 19． ( 1 ) 证明：由四边形 ABCD 为菱形， ABC 60   ，可得 ABC 为正三角形． 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC ． 又 BC / /AD ，因此 AE AD ． 因为 PA  平面 ABCD， AE  平面 ABCD，所以 PA AE ． - 9 - 而 PA  平面 PAD， AD  平面 PAD 且 PA AD A  ， 所以 AE  平面 PAD. 又 PD  平面 PAD， 所以 AE PD ． ( 2 ) 设 AB 2 ，H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH． 由 ( 1 ) 知 AE  平面 PAD， 则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角．在 Rt EAH 中， AE 3 ， 所以当 AH 最短时， EHA 最大，即当 AH PD 时， EHA 最大． 此时 AE 3 6tan EHA AH AH 2     ， AH 2. 又 AD 2 ，所以 ADH 45   ， 所以 PA 2 ．因为 PA  平面 ABCD， PA  平面 PAC，所以平面 PAC  平面 ABCD． 过 E 作 EO AC 于 O，则 EO  平面 PAC， 过 O 作 OS AF 于 S，连接 ES，则 ESO 为二面角 E AF C  的平面角， 在 Rt AOE 中， 3EO AE sin30 2    ， 3AO AE cos30 2    ， 又 F 是 PC 的中点，在 Rt ASO 中， 3 2SO AO sin45 4    ， 又 2 2 3 9 30SE EO SO 4 8 4      ， 在 Rt ESO 中， 3 2 SO 154cos ESO SE 530 4     ，即所求二面角的余弦值为 15 5 ． - 10 - 20．解：（1）由题意得 2 2 2 2 2 6, 1 2 3,2 , a c bc a b c         1, 3, 2, c b a      椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ； （2）由（1）得  2,0A  ，  2,0B ，  2 1,0F ，设直线 MN 的方程为 1x my  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，由 2 2 1 14 3 x mx x y     ，得 2 24 3 6 9 0m y my    ， 1 2 2 6 4 3 my y m      ， 1 2 2 9 4 3y y m    ，  1 2 1 2 3 2my y y y   ， 直线 AM 的方程为  1 1 22 yy xx   ，直线 BN 的方程为  2 2 22 yy xx   ，    1 2 1 2 2 22 2 y yx xx x      ，     2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 32 32 2 y x my y yx x y x my y y        ， 4x  ，直线 AM 与 BN 的交点在直线 4x  上. 21．（1）令 1x  ， 4 1(1) (1)3 2f f  ，∴ 3(1) 2f   ，∴ 1( ) (2)l 22n xf x f x   ， ∴ (2) 1( ) 2 ff x x    ，代入 2x  可得 (2) 1(2) 2 2 ff    ，∴ ( )2 1f ¢ = ， ∴ 1( ) ln 22f x x x   . （2）由题意 21( ) ( ) l 2n2h x xf x x ax b x x ax bx        ， ∴    ln 1 2 ln 1x ah x x a      ， 当1 0a  即 1a   时，   0h x  在 (1, ) 上恒成立， ∴  h x 在区间 (1, ) 上单调递增，  h x 无极值，不合题意； - 11 - 当1 0a  即 1a   时，令   0h x  ，则 1ax e  ， ∴当  11, ax e  ，   0h x  ，函数  h x 单调递减；  1,ax e   ，   0h x  ，函数  h x 单调递增； ∴  h x 在 (1, ) 存在唯一极值  1ah e  ，又函数 ( )h x 区间 (1, ) 上存在非负的极值， ∴存在  1 1 1 1 1 1ln 2 0a a a a a ah e e e e ae b e b             ， ∴存在 1ab e   即 1 1 1 ab e a a     ，令 ( ) ( 0) xex xx     ，∴ 2 ( 1)( ) xx ex x     ， ∴当  0,1x 时，   0x  ，  x 单调递增；当 (1, )x  时，   0x  ，  x 单调递 减； ∴ max( ) (1)x e    ，∴当 1 1a   即 0a  时， 1 1 ae a    取最大值 e ，∴ 1 b a  的最大值 为 e . 22．解：（1） 1l:{x tcos y tsin       2C: y 8x （2）把直线方程代入抛物线方程得： 2 2t sin α 8tcosα 8 0   1 2 1 22 2 8cosα 8t t ,t tsin α sin α      22 1 2 1 2 1 2 2 4 4 6sin αAB t t t t 4t t 8 10sin α        4 2 2 1 1 π 5π20sin α 3sin α 2 0, sin α sinα α α4 2 6 6 ， 或           23．（1）因为   4, 3 2 2, 3 1 4, 1 x f x x x x           ， 当 3x   时，由   2 3f x x  可得出 2 3 4x   ，解得 2x  ，此时 x ； - 12 - 当 3 1x   时，由   2 3f x x  可得出 2 2 2 3x x   ，解得 0x  ，此时 0 1x  ； 当 1x  时，由   2 3f x x  可得出 2 3 4x  ，解得 2 3x   ，此时 1x  . 所以不等式   2 3f x x  的解集为 0, ； （2）根据（1）可知，函数  y f x 的最大值为 4 ，即 4a b  ，所以    1 1 16 a b    .    1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 6 1 1 6 1 1 b aa ba b a b a b                            1 1 12 26 1 1 b a a b           1 22 26 3    ，当且仅当 2a b  时，等号成立，所以 1 1 1 1a b   的最小值为 2 3 .