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- 2021-06-16 发布
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第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,綈p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”,“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( )
解析 (1)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(老教材选修2-1P18A1(3)改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
答案 B
3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等
4.(2020·成都诊断)已知命题p:∃x0∈R,x+4x0+6<0,则綈p为( )
A.∀x∈R,x2+4x+6≥0 B.∃x∈R,x2+4x+6>0
C.∀x∈R,x2+4x+6>0 D.∃x∈R,x2+4x+6≥0
解析 依据特称命题的否定是全称命题,由此知答案A是正确的.
答案 A
5.(2020·唐山模拟)已知命题p:f(x)=x3-ax的图象关于原点对称;命题q:g(x)=xcos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是( )
A.綈p B.q
C.p∧q D.p∧(綈q)
解析 根据题意,对于f(x)=x3-ax,有f(-x)=(-x)3-a(-x)=-(x3-ax)=-f(x),为奇函数,其图象关于原点对称,p为真命题;对于g(x)=xcos x,有g(-x)=(-x)cos(-x)=-xcos x,为奇函数,其图象关于原点对称,q为假命题,则綈p为假命题,q为假命题,p∧q为假命题,p∧(綈q)为真命题.
答案 D
6.(2019·豫南五校联考)若“∀x∈,m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为________.
解析 由x∈,∴1≤tan x+2≤2+.
∵“∀x∈,m≤tan x+2”为真命题,则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧(綈q)
(2)(2020·济南调研)已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:m,n是直线,α为平面,若m∥α,n⊂α,则m∥n.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.
又a,b,c是非零向量,
由a∥b知a=xb(x∈R),由b∥c知b=yc(y∈R),
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.
綈p为真命题,綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q),p∧(綈q)都是假命题.
(2)对于命题p,由a>|b|两边平方,可得到a2>b2,故命题p为真命题.对于命题q,直线m∥α,但是m,n有可能是异面直线,故命题q为假命题,綈q为真命题.所以p∧(綈q)为真命题.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假,全真才真”,p∨q形式是“一真必真,全假才假”,綈p则是“与
p的真假相反”.
【训练1】 (1)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题,则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题,命题q是假命题
D.命题p是假命题,命题q是真命题
(2)(2020·衡水中学检测)命题p:若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:若cos α·cos β=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p∧q D.p∨q
解析 (1)因为綈p为真命题,所以p为假命题,又p∨q为真命题,所以q为真命题.
(2)当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,命题p是假命题;
若cos αcos β=1,则cos α=cos β=1或cos α=cos β=-1,
所以sin α=sin β=0,从而sin(α+β)=0,命题q是真命题,
所以p∨q是真命题.
答案 (1)D (2)D
考点二 全称量词与存在量词 多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2-1】 (2020·河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则綈p为( )
A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉B
C.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B
解析 全称命题的否定为特称命题:改写量词,否定结论.
∴綈p:∃f(x)∈A,|f(x)|∉B.
答案 C
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2-2】 (1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)
B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
(2)(2020·衡水检测)已知命题p:∀x∈N*,≥,命题q:∃x∈R,2x+21-x=2,则下列命题中是真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.
(2)因为y=xn(n∈N*)在(0,+∞)上递增.
∴∀x∈N*,≥成立,p为真命题.
又2x+21-x≥2=2,
当且仅当2x=21-x,即x=时,上式取等号,
则q为真命题.因此p∧q为真命题.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.
【训练2】 (1)(角度1)命题“∃x0∈R,12
D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
(2)(角度2)(2020·株洲模拟)已知命题p:∀x>0,ex>x+1,命题q:∃x∈(0,+∞),ln x≥x,则下列命题正确的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.
(2)令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,当x>0时,
f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(0)=0,即ex>x+1,命题p真;
令g(x)=ln x-x,x>0,则g′(x)=-1=,
当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,
即当x=1时,g(x)取得极大值,也是最大值,
所以g(x)max=g(1)=-1<0,
∴g(x)<0在(0,+∞)上恒成立,则命题q假,
因此綈q为真,故p∧(綈q)为真.
答案 (1)D (2)C
考点三 由命题的真假求参数 典例迁移
【例3】 (1)已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“∃x0∈R,使得x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为________________.
(2)(经典母题)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________.
解析 (1)若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x0∈R,使x+4x0+a=0,得Δ=16-4a≥0,则a≤4,因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4].
(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,
当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,
由f(x)min≥g(x)min,
得0≥-m,所以m≥.
答案 (1)[e,4] (2)
【迁移】 本例(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是_________________________________________________.
解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,
对∀x1∈[0,3],∀x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥.
答案
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.
【训练3】 已知命题p:∀x∈R,2x<3x,命题q:∃x∈R,x2=2-x,若命题(綈p)∧q为真命题,则x的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析 因为綈p:∃x∈R,2x≥3x,要使(綈p)∧q为真,所以綈p与q同时为真.
由2x≥3x,得≥1,所以x≤0.①
由x2=2-x,得x=1或x=-2.②
由①②知x=-2.
答案 D
逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”的问题
【例1】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=x-,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解 由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为.
令h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),
则h′(x)=6x+2,由h′(x)=0得x=-.
当x∈时,h′(x)<0;当x∈时,h′(x)>0,所以[h(x)]min=h=-a2-2a-.
又由题意可知,h(x)的值域是的子集,
所以
解得实数a的取值范围是[-2,0].
思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”,从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”的问题
【例2】 已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解 由题意,易得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为,并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-k<0,解得k<或k>,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是.
思维升华 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)1,x2-1>0”,则綈p为( )
A.∀x>1,x2-1≤0 B.∀x≤1,x2-1≤0
C.∃x0>1,x-1≤0 D.∃x0≤1,x-1≤0
解析 命题p:“∀x>1,x2-1>0”,则綈p为:∃x0>1,x-1≤0.
答案 C
2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(綈p)∨(綈q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定,选A.
答案 A
3.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
解析 ∵全称命题的否定为特称命题,
∴该命题的否定是:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0.
答案 D
4.已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a20恒成立,所以p为真命题,则綈p为假命题;当a=1,b=-2时,满足a2x2,q:“ab>4”是“a>2,b>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析 当x=2时,2x=x2,所以p是假命题;由a>2,b>2可以推出ab>4;反之不成立,例如a=2,b=4,所以“ab>4”是“a>2,b>2”的必要不充分条件,故q是假命题;所以(綈p)∧(綈q)是真命题.
答案 D
6.已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.[0,4]
C.[4,+∞) D.(0,4)
解析 因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以其否定命题“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题.
则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得00,得3x+1>1,所以0<<1,
所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题.
答案 B
8.已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A. B.(1,+∞)
C. D.∪(1,+∞)
解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,
命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,
∴原命题的否定:“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,
∴f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,
∴(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1,
∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).
答案 D
二、填空题
9.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y=tan x在上是增函数,∴ymax=tan =1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
答案 1
10.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为________________________________.
解析 因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可.
答案 ∃x0∈(0,+∞),≤x0+1
11.(2020·湖南百校大联考改编)下列四个命题:p1:任意x∈R,2x>0;p2:存在x∈R,x2+x+1≤0;p3:任意x∈R,sin x<2x;p4:存在x∈R,cos x>x2+x+1.其中是真命题的为________.
解析 ∀x∈R,2x>0恒成立,p1是真命题.
又x2+x+1=+>0,∴p2是假命题.
由sin=1>2-π,知p3是假命题.
取x=-时,cos>cos=,
但x2+x+1=<,则p4为真.
综上,p1,p4为真命题,p2,p3是假命题.
答案 p1,p4
12.已知命题p:∃x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p:∃x0∈R,(m+1)(x+1)≤0可得m≤-1;由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,即Δ=m2-4<0,可得-2-1.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
B级 能力提升
13.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nsin x,则命题p∨q为真
C.命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题
解析 选项A,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,∴A选项错误.
选项B,∵sin x0=>1,∴命题p是假命题.命题q:当x=0时,x=sin x,∴命题q是假命题,则命题p∨q为假.∴B选项错误.
选项C,命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”,∴C选项错误.
选项D,∵x=y,∴sin x=sin y,∴该命题的逆否命题为真命题.∴D选项正确.
答案 D
15.已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解;命题q:若m=,则f[f(-1)]=0,那么,下列命题为真命题的是____________(填序号).
①p∧q;②(綈p)∧q;③p∧(綈q);④(綈p)∧(綈q).
解析 因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,
所以命题p为假命题;
当m=时,因为f(-1)=3-1=,
所以f[f(-1)]=f=-=0,
所以命题q为真命题;
逐项检验可知,只有(綈p)∧q为真命题.
答案 ②
16.(2020·漳州八校联考)设p:函数f(x)=的定义域为R,q:∃x∈(0,1),使得不等式3x-9x-a<0成立.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数a的取值范围为________.
解析 若命题p为真,则ax2-x+a≥0恒成立,
则解得a≥1.
设y=3x-9x.令3x=t,则y=3x-9x=t-t2,
当x∈(0,1)时,t∈(1,3),
所以y=3x-9x的值域为(-6,0).
若命题q为真,则a>-6.
由命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,可知p,q一真一假,
当p真q假时,a不存在;当p假q真时,-6
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