2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1 27页

1.4.2 　用空间向量研究距离、夹角问题 第 1 课时　距离问题 激趣诱思 知识点拨 某人在一片丘陵上开垦了一块田地 , 在丘陵的上方架有一条直的水渠 , 此人想从水渠上选择一个点 , 通过一条管道把水引到田地中的一个点 P 处 , 要想使这个管道的长度理论上最短 , 应该如何设计 ? 激趣诱思 知识点拨 一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1 . 点到直线的距离 2 . 两条平行直线之间的距离 求两条平行直线 l , m 之间的距离 , 可在其中一条直线 l 上任取一点 P , 则两条平行直线间的距离就等于点 P 到直线 m 的距离 . 名师点析 点到直线的距离 , 即点到直线的垂线段的长度 , 由于直线与直线外一点确定一个平面 , 所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2, E , F 分别是 C 1 C , D 1 A 1 的中点 , 则点 A 到直线 EF 的距离为 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 已知平面 α 的法向量为 n , A 是平面 α 内的定点 , P 是平面 α 外一点 . 过点 P 作平面 α 的垂线 l , 交平面 α 于点 Q , 则点 P 到平面 α 的距离为 2 . 如果一条直线 l 与一个平面 α 平行 , 可在直线 l 上任取一点 P , 将线面距离转化为点 P 到平面 α 的距离求解 . 3 . 两个平行平面之间的距离 如果两个平面 α , β 互相平行 , 在其中一个平面 α 内任取一点 P , 可将两个平行平面的距离转化为点 P 到平面 β 的距离求解 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 底面边长为 2, 侧棱长为 4, 则点 B 1 到平面 AD 1 C 的距离为 　　　　　 .   解析 : 以 D 为坐标原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 , 则 A (2,0,0), C (0,2,0), D 1 (0,0,4), B 1 (2,2,4), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用空间向量求点线距 例 1 已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , AA 1 = 1, AB= 4, BC= 3, ∠ ABC= 90 ° , 求点 B 到直线 A 1 C 1 的距离 . 解 : 以 B 为坐标原点 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 A 1 (4,0,1), C 1 (0,3,1), 所以直线 A 1 C 1 的方向向量 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点 : (1) 不必找点在直线上的垂足以及垂线段 ; (2) 在直线上可以任意选点 , 但一般选较易求得坐标的特殊点 ; (3) 直线的方向向量可以任取 , 但必须保证计算正确 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 例 1 中的条件不变 , 若 M , N 分别是 A 1 B 1 , AC 的中点 , 试求点 C 1 到直线 MN 的距离 . 解 : 如例 1 解中建立空间直角坐标系 ( 图略 ) . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为 2 的直三棱柱 , 求点 B 到 A 1 C 1 的距离 . 解 : 以 B 为坐标原点 , 分别以 BA , 过 B 垂直于 BA 的直线 , BB 1 为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 B (0,0,0), A 1 (2,0,2), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用空间向量求点面距 例 2 在三棱锥 S-ABC 中 , △ ABC 是边长为 4 的正三角形 , 平面 SAC ⊥ 平面 ABC , SA=SC= 2 , M , N 分别为 AB , SB 的中点 , 如图所示 . 求点 B 到平面 CMN 的距离 . 思路分析 借助平面 SAC ⊥ 平面 ABC 的性质 , 建立空间直角坐标系 , 先求平面 CMN 的法向量 , 再求距离 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : 取 AC 的中点 O , 连接 OS , OB. ∵ SA=SC , AB=BC , ∴ AC ⊥ SO , AC ⊥ BO. ∵ 平面 SAC ⊥ 平面 ABC , 平面 SAC ∩ 平面 ABC=AC , ∴ SO ⊥ 平面 ABC. 又 BO ⊂ 平面 ABC , ∴ SO ⊥ BO. 如图所示 , 分别以 OA , OB , OS 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 Oxyz , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 求点到平面的距离的主要方法 (1) 作点到平面的垂线 , 点到垂足的距离即为点到平面的距离 . (2) 在三棱锥中用等体积法求解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 在直三棱柱中 , AA 1 =AB=BC= 3, AC= 2, D 是 AC 的中点 . (1) 求证 : B 1 C ∥ 平面 A 1 BD ; (2) 求直线 B 1 C 到平面 A 1 BD 的距离 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2) 解 : 因为 B 1 C ∥ 平面 A 1 BD , 所以 B 1 C 到平面 A 1 BD 的距离就等于点 B 1 到平面 A 1 BD 的距离 . 如图建立坐标系 , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 转化与化归思想在求空间距离中的应用 典例 如图 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , ∠ ABC= 90 ° , BC= 2, CC 1 = 4, 点 E 在棱 BB 1 上 , EB 1 = 1, D , F , G 分别为 CC 1 , B 1 C 1 , A 1 C 1 的中点 , EF 与 B 1 D 相交于点 H. (1) 求证 : B 1 D ⊥ 平面 ABD ; (2) 求证 : 平面 EGF ∥ 平面 ABD ; (3) 求平面 EGF 与平面 ABD 的距离 . 思路分析 根据两个平行平面间距离的定义 , 可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离 , 即点面距 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 如图所示建立空间直角坐标系 , 设 AB=a , 则 A 1 ( a ,0,0), B 1 (0,0,0), C 1 (0,2,0), F (0,1,0), E (0,0,1), A ( a ,0,4), B (0,0,4 ), D (0,2,2 ), 所以 B 1 D ⊥ AB , B 1 D ⊥ BD. 又 AB ∩ BD=B , 所以 B 1 D ⊥ 平面 ABD. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 所以 GF ∥ AB , EF ∥ BD. 又 GF ∩ EF=F , AB ∩ BD=B , 所以平面 EGF ∥ 平面 ABD. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法总结 求两个平行平面的距离 , 先在其中一个平面上找到一点 , 然后转化为该点到另一个平面的距离求解 . 注意 : 这个点要选取适当 , 以方便求解为主 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 两平行平面 α , β 分别经过坐标原点 O 和点 A (2,1,1), 且两平面的一个法向量 n = ( - 1,0,1), 则两平面间的距离是 ( 　　 ) 答案 : B 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . 若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直 , 且满足 PA=PB=PC= 1, 则点 P 到平面 ABC 的距离是 ( 　　 ) 答案 : D 　 解析 : 分别以 PA , PB , PC 所在的直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 ( 图略 ), 则 A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) . 可以求得平面 ABC 的 一个 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 如图 , 正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1, O 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 的中心 , 则 O 到平面 ABC 1 D 1 的距离是 ( 　　 ) 答案 : B 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : 3 解析 : 以点 C 为坐标原点 , CA , CB , CP 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 A (4,0,0), B (0,3,0), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5 . 棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , M , N 分别是线段 BB 1 , B 1 C 1 的中点 , 则直线 MN 到平面 ACD 1 的距离为 　　　　　 .   解析 : 如图 , 以点 D 为坐标原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测