高中数学（人教版必修5）配套练习：2-4等比数列第1课时 6页

第二章 2.4 第 1 课时 一、选择题 1．等比数列{an}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于( ) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案] B [解析] ∵a1＝4，a2＝8，∴公比 q＝a2 a1 ＝2. 2．若等比数列的首项为9 8 ，末项为1 3 ，公比为2 3 ，则这个数列的项数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案] B [解析] 9 8·(2 3)n－1＝1 3 ，∴(2 3)n－1＝ 8 27 ＝(2 3)3∴n＝4. 3．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝( ) A．64 B．81 C．128 D．243 [答案] A [解析] ∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6， ∴设等比数列的公比为 q， 则 a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2. ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1， ∴a7＝a1q6＝26＝64. 4．已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a25，a2＝1，则 a1＝( ) A．1 2 B． 2 2 C． 2 D．2 [答案] B [解析] 设公比为 q，由已知得 a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即 q2＝2， 因为等比数列{an}的公比为正数，所以 q＝ 2， 故 a1＝a2 q ＝ 1 2 ＝ 2 2 ，故选 B． 5．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9 [答案] B [解析] 由条件知 a2＝－b b2＝ac＝9 c2＝－9b ，∵ a2≥0 a≠0 ，∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选 B． 6．已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则 m 与 k 的大 小关系是( ) A．m>k B．m＝k C．m0，q≠1)． 二、填空题 7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项 an＝__________. [答案] 3·2n－3 [解析] ∵ a3＝3 a10＝384 ，∴ a1q2＝3 a1q9＝384 ∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝3 4 ，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3. 8．已知等比数列前 3 项为1 2 ，－1 4 ，1 8 ，则其第 8 项是________． [答案] － 1 256 [解析] ∵a1＝1 2 ，a2＝a1q＝1 2q＝－1 4 ， ∴q＝－1 2 ，∴a8＝a1q7＝1 2 ×(－1 2)7＝－ 1 256. 三、解答题 9．若 a,2a＋2,3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值． [解析] ∵a,2a＋2,3a＋3 成等比数列， ∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)， 解得 a＝－1 或 a＝－4. 当 a＝－1 时，2a＋2,3a＋3 均为 0，故应舍去． 当 a＝－4 时满足题意，∴a＝－4. 10．已知：数列{an}的首项 a1＝5，前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数 列{an＋1}是等比数列． [证明] 由已知 Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)． 当 n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减 得 Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 即 an＋1＝2an＋1，从而 an＋1＋1＝2(an＋1)．当 n＝1 时，S2＝2S1＋1＋5， ∴a2＋a1＝2a1＋6. 又∵a1＝5，∴a2＝11，从而 a2＋1＝2(a1＋1)，故总有 an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*. 又∵a1＝5，a1＋1≠0. 从而an＋1＋1 an＋1 ＝2，即数列{an＋1}是首项为 6，公比为 2 的等比数列. 一、选择题 1．各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1，且 a2，1 2a3，a1 成等差数列，则a3＋a4 a4＋a5 的值 为( ) A．1－ 5 2 B． 5＋1 2 C． 5－1 2 D． 5＋1 2 或 5－1 2 [答案] C [解析] ∵a2，1 2a3，a1 成等差数列，∴a3＝a2＋a1， ∵{an}是公比为 q 的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1， ∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝ 5＋1 2 . ∴a3＋a4 a4＋a5 ＝ a3＋a4 a3＋a4q ＝1 q ＝ 5－1 2 . 2．数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a1、a3、a7 为等比数列{bn}的连续三项，则数列 {bn}的公比为( ) A． 2 B．4 C．2 D．1 2 [答案] C [解析] ∵a1、a3、a7 为等比数列{bn}中的连续三项， ∴a23＝a1·a7，设{an}的公差为 d，则 d≠0， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d， ∴公比 q＝a3 a1 ＝4d 2d ＝2，故选 C． 3．在等比数列{an}中，an>0，且 a2＝1－a1，a4＝9－a3，则 a4＋a5 的值为( ) A．16 B．27 C．36 D．81 [答案] B [解析] 设公比为 q，由题意，得 a1＋a1q＝1 a1q2＋a1q3＝9 ， ∴q2＝9，∵an>0，∴q＝3. ∴a1＝1 4 ，∴a4＝a1q3＝27 4 ， a5＝a1q4＝81 4 ， ∴a4＋a5＝27 4 ＋81 4 ＝108 4 ＝27. 4．若正数 a，b，c 依次成公比大于 1 的等比数列，则当 x>1 时，log ax，log bx，log cx( ) A．依次成等差数列 B．依次成等比数列 C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列 [答案] C [解析] 1 log ax ＋ 1 log cx ＝log xa＋log xc＝log x(ac)＝log xb2 ＝2log xb＝ 2 log bx ∴ 1 log ax ， 1 log bx ， 1 log cx 成等差数列． 二、填空题 5．在 8 和 5 832 之间插入 5 个数，使它们组成以 8 为首项的等比数列，则此数列的第 5 项是__________． [答案] 648 [解析] 设公比为 q，则 8q6＝5 832，∴q6＝729， ∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648. 6．在等比数列{an}中，an>0，且 an＋2＝an＋an＋1，则数列的公比 q＝________. [答案] 1＋ 5 2 [解析] ∵an＋2＝an＋an＋1， ∴q2an＝an＋qan. ∵an>0， ∴q2－q－1＝0，q>0， 解得 q＝1＋ 5 2 ，或 q＝1－ 5 2 (舍去)． 三、解答题 7．等比数列{an}中，已知 a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 a3、a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. [解析] (1)设{an}的公比为 q， 由已知得 16＝2q3，解得 q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2n. (2)由(1)得 a3＝8，a5＝32，则 b3＝8，b5＝32， 设{bn}的公差为 d，则有 b1＋2d＝8， b1＋4d＝32， 解得 b1＝－16， d＝12. 从而 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28， ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn＝n－16＋12n－28 2 ＝6n2－22n. 8．在各项均为负数的数列{an}中，已知 2an＝3an＋1，且 a2·a5＝ 8 27 ，证明{an}是等比数列， 并求出通项公式． [证明] ∵2an＝3an＋1， ∴an＋1 an ＝2 3 ，故数列{an}是公比 q＝2 3 的等比数列． 又 a2·a5＝ 8 27 ，则 a1q·a1q4＝ 8 27 ， 即 a21·(2 3)5＝(2 3)3. 由于数列各项均为负数， 则 a1＝－3 2. ∴an＝－3 2 ×(2 3)n－1＝－(2 3)n－2.