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- 2021-06-16 发布
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专题 1.2 函数与导数
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
一、选择题(12*5=60 分)
1. 4 4log 2 log 8 等于( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】 4 4log 2 log 8 ,选 B.
2.下列函数中,既是偶函数,又在 0, 单调递增的函数是( )
A. 2 1y x B. 1y x C. 3y x D. 2 xy
【答案】C
3.【2018 届北京市西城区 44 中高三上 12 月月考】集合 2 , 0xM y y x , 2| logN y y x ,那么
“ x M ”是“ x N ”的( ).
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵集合 2 , 0 1xM y y x y y , 2| logN y y x R ,
∴ M NÖ ,
∴“ x M ” 是“ x N ”的充分而不必要条件.选 A .
4.【2018 届辽宁省丹东市五校协作体联考】设 f x 是定义在 R 上的奇函数,当 0x 时, xf x x e ,则
ln6 =f
A. ln6 6 B. ln6 6 C. ln6 6 D. ln6 6
【答案】C
【解析】∵ f x 是定义在 R 上的奇函数,
∴ ln6ln6 ln6 ln6 ln6 6 ln6 6f f e .选 C.
5.【2018 届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考】定义运算 ,{ ,
a a ba b b a b
,则函数
11 2
x
f x
的图象是下图中
A. B.
C. D.
【答案】D
6.【2018 届全国名校第三次大联考】已知 e 为自然对数的底数,则曲线 xy xe 在点 1,e 处的切线方程为( )
A. 2 1y x B. 2 1y x C. 2y ex e D. 2 2y ex
【答案】C
【解析】因为 xy xe ,所以 ‘ x xy e xe ,曲线 xy xe 在点 1,e 处的切线斜率 k e 1 2e e ,切线方程为
2 1y e e x ( ),化简得 2y ex e ,故选 C.
7.【2018 届山东省淄博市部分学校高三 12 月摸底】已知函数 y f x 的图象如图所示,则其导函数 'y f x
的图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】D
8.已知函数
2 1 0{ 2 ( 0)x
ax xf x a e x
为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( )
A. 2,3 B. 2, C. ,3 D. 2,3
【答案】A
【解析】若 f(x)在 R 上单调递增,则有
0
{ 2 0
2 1
a
a
a
解得 20,解得: 60 6
sr
,
令 v′(r)<0,解得: 6
6
sr
,
故 v(r)在(0, 6
6
s
)递增,在( 6
6
s
, 2
2
s
)递减,
故当 r= 6
6
s
时 V 最大,
故答案为: 31 2 6,(0 );2 2 6
s sv sr r r .
16.【2018 届北京师范大学附属中学高三上期中】已知函数 2
, 0{
4 , 0
xxe xf x
x x x
, g x f x k .
(1)当 k=0 时,函数 g(x)的零点个数为____________;
(2)若函数 g(x)恰有 2 个不同的零点,则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 2 10,4 e
三、解答题(共 6 道小题,共 70 分)
17. 【2018 届陕西省吴起高级中学高三上学期期中】已知函数 1 x
af x x e
( a R , e 为自然对数的底数).
(1)若曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;
(2)求函数 f x 的极值.
【答案】(1) a e ;(2)答案见解析.
当 0a , f x 在 lnx a 处取得极小值 lna ,无极大值.
点睛:求函数 f x 极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数 f x ;(3) 解方程 0,f x 求出函数
定义域内的所有根;(4) 列表检查 f x 在 0f x 的根 0x 左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),
那么 f x 在 0x 处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么 f x 在 0x 处取极小值. (5)如果只有一个极值
点,则在该处即是极值也是最值.
18.已知函数 1 lnxf x x
.
(1)求函数 f x 的单调区间;
(2)若 g x xf x mx 在区间 0,e 上的最大值为 3 ,求 m 的值.
【答案】(1)在 0,1 上是增函数,在 1, 上是减函数;(2) 3m e 。
f x 在 0,1 上是增函数,在 1, 上是减函数.
(2) 11 ln , , 0,g x x mx g x m x ex
,
①若 0m ,则 0g x ,从而 g x 在 0,e 上是增函数,
max 2 0g x g e me ,不合题意.
②若 0m ,则由 0g x ,即 10 x m
,
若 1 ,e g xm
在 0,e 上是增函数,由①知不合题意.
若 1 em
,由 0g x ,即 1 x em
.
从而 g x 在 10, m
上是增函数,在 1 ,em
为减函数,
max
1 1ln 3g x g m m
,
3
1 1 ,em e
所求的 3m e .
19.【2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考】已知函数 axf x e x .
(1)讨论 f x 的单调性;
(2)证明:当 1a 时,存在实数 0x ,使 0 1f x .
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
②若 0 1a ,则 ln 0a
a
,而 f x 在 ln, a
a
上单调递减,
所以取 0
lnax a
时能使 0 0 1f x f ;
③若 1a ,则 ln 0a
a
,而 f x 在 ln ,a
a
上单调递增,
所以取 0
lnax a
时能使 0 0 1f x f ,
综上,当 1a 时,存在实数 0x ,使 0 1f x .
20.设函数 ln 2 2f x x ax a , 2g x xf x ax x a R .
(1)求函数 f x 的单调区间;
(2)若函数 g x 在 1x 处取得极大值,求正实数 a 的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)正实数 a 的取值范围为 1 ,2
。
【解析】试题分析:(1)求出 'f x ,分两种情况讨论,分别令 ' 0f x 求得 x 的范围,可得函数 f x 增区
间, ' 0f x 求得 x 的范围,可得函数 f x 的减区间;(2)讨论 a 的取值范围,分别利用导数研究函数的
单调性,根据函数极值的定义,进行验证即可得到结论.
试题解析:(1)由 ln 2 2 , 0,f x x ax a x ,
所以 1 1 22 axf x ax x
.
当 0, 0,a x 时, 0f x ,函数 f x 在 0, 上单调递增;
当 10, 0, 2a x a
时, 0f x ,函数 f x 单调递增, 1 ,2x a
时, 0f x ,函数 f x
0g x , g x 单调递减,不合题意.
③当 1
2a 时, 10 12a
,当 1 ,12x a
时, 0g x , g x 单调递增,当 1,x 时, 0g x ,
g x 单调递减.
所以 g x 在 1x 处取得极大值,符合题意.
综上可知,正实数 a 的取值范围为 1 ,2
.
21.【2017 课标 3,文 21】已知函数 ( )f x =lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论 ( )f x 的单调性;
(2)当 a﹤0 时,证明 3( ) 24f x a
.
【答案】(1)当 0a 时, )(xf 在 ),0( 单调递增;当 0a 时,则 )(xf 在 )2
1,0( a
单调递增,在 ),2
1(
a
单调递减;(2)详见解析
22.【2018 届宁夏育才中学高三第四次月考】已知函数 ( ).
(1)讨论 在其定义域上的单调性;
(2)若 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)①当 , 时函数 在 上单调递增,在 上单调递减;②当 , 时函数
在 上单调递减,在 上单调递增;(2)实数 的取值范围是 .
【解析】试题分析:(1)求导数,利用导数的正负,结合函数的定义域可得函数的单调区间;(2)b=1 时,f(x)
≤0 恒成立,即 lnx﹣ax+1≤0 恒成立,构造函数
研究这个函数的单调性求得函数的最值,使得函数的最大值小于等于 0 即可。
解析:
(1)函数 ( )的定义域是 .
,
令 ,得 ,得 ,得 .
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