2021届高考数学一轮复习专题六立体几何第3课时课件 31页

第 3 课时 题型 1 利用空间向量求空间角 ( 距离 ) 就新课标卷而言，对立体几何的命题基本上是“一题两 法”的格局 . 在备考中，对理科考生而言，还是应该注重两种方 法并重，不要盲 目地追求空间向量 ( 容易建系时才用空间向量 ) ， 千万不要重计算而轻论证！ 例 1 ： (20 18 年新课标 Ⅱ ) 如图 6-34 ，在三棱锥 P - ABC 中， (1) 证明： PO ⊥ 平面 ABC ； (2) 若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M - PA - C 为 30° ，求 PC 与 平面 PAM 所成角的正弦值 . 图 6-34 图 6-35 【 规律方法 】 立体几何中的直线与平面的位置关系，以及 空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来 处理，对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直间的 转化关系来证明，对于异面直线所成的角、直线与平面所成的 角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为 相交直线所成的角来处理 . 本题主要考查立体几何中传统的平 行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大， 旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力 . 【 跟踪训练 】 1.(2017 年新课标 Ⅰ ) 如图 6-36 ，在四棱锥 P - ABCD 中， AB ∥ CD ，且 ∠ BAP ＝ ∠ CDP ＝ 90°. (1) 证明：平面 PAB ⊥ 平面 PAD ； (2) 若 PA ＝ PD ＝ AB ＝ DC ， ∠ APD ＝ 90° ，求二面角 A - PB - C 的余弦值 . 图 6-36 (1) 证明： 由已知 ∠ BAP ＝ ∠ CDP ＝ 90° ，得 AB ⊥ AP ， CD ⊥ PD . 由于 AB ∥ CD ，故 AB ⊥ PD . 又 AP ∩ PD ＝ P ，从而 AB ⊥ 平面 PAD . 又 AB ⊂ 平面 PAB ， ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PAD . (2) 解： 在平面 PAD 内作 PF ⊥ AD ，垂足为 F ， 由 (1) 可知， AB ⊥ 平面 PAD ，故 AB ⊥ PF ，可得 PF ⊥ 平面 ABCD . . 图 D101 题型 2 折叠问 题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图 形，把这类问题称为平面图形的翻折问题 . 平面图形经过翻折成 为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变 化，弄清 它们是解决问题的关键 . 一般地，翻折后还在同一个平 面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 解 决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系 和几何量的度量值 ，这是化解翻折问题难点的主要方法 . 例 2 ： (20 18 年新课标 Ⅰ ) 如图 6-37 ，四边形 ABCD 为正方 形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 △ DFC 折 起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF ⊥ BF . (1) 证明：平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ； (2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 图 6-37 (1) 证明： 由已知可得， BF ⊥ PF ， BF ⊥ EF ， 又 PF ∩ EF ＝ F ， ∴ BF ⊥ 平面 PEF . 又 BF ⊂ 平面 ABFD ， ∴ 平面 PEF ⊥ 平面 ABFD . (2) 解： 作 PH ⊥ EF ，垂足为 H . 由 (1) 得， PH ⊥ 平面 ABFD . 建立如图 6-38 所示的空间直角坐标系 H - xyz . 图 6-38 【 规律方法 】 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形 ( 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 ) 各元素间的位置和数 量关系，哪些变，哪些不变 . 如角的大小不变，线段长度不变， 线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明 . 【 跟踪训练 】 2. 如图 6-39 ，在四边形 ABED 中， AB ∥ DE ， AB ⊥ BE ，点 C 在 AB 上，且 AB ⊥ CD ， AC ＝ BC ＝ CD ＝ ，现将 2 ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE 与平面 PBC 所成的角为 45°. (1) 求证：平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ； (2) 求二面角 D - PE - B 的余弦值 . 图 6-39 (1) 证明： ∵ AB ⊥ CD ， AB ⊥ BE ， ∴ CD ∥ EB . ∵ AC ⊥ CD ， ∴ PC ⊥ CD .∴ EB ⊥ PC ， 且 PC ∩ BC ＝ C ， ∴ EB ⊥ 平面 PBC, 又 ∵ EB ⊂ 平面 DEBC ， ∴ 平面 PBC ⊥ 平面 DEBC . 图 D102 (2) 解： 由 (1 ) 知 EB ⊥ 平面 PBC ， ∴ EB ⊥ PB ， 由 PE 与平面 PBC 所成的角为 45° ，得 ∠ EPB ＝ 45° ， ∴△ PBE 为等腰直角三角形， ∴ PB ＝ BE . ∵ AB ∥ DE ，结合 CD ∥ EB 得 BE ＝ CD ＝ 2 ， ∴ PB ＝ ，故 2 PBC 为等边三角形 . 取 BC 的中点 O ，连接 PO ， ∵ PO ⊥ BC ， ∴ PO ⊥ 平面 EBCD ， 以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴， CB 所在的直线为 y 轴， OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 如图 D102 ， 题型 3 探索性问题 图 6-40 (1) 证明： 连接 AC ，如图 6-41. ∴ BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 ， ∴ AB ⊥ AC . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AC ⊥ CD . 又 ∵ PA ⊥ 底面 ABCD, ∴ PA ⊥ CD . ∵ AC ∩ PA ＝ A ， ∴ CD ⊥ 平面 PAC . 图 6-41 (2) 解： 如图 6-41 ，以 A 为原点， AB ， AC ， AP 所在直线分 别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0) ， P (0,0,2) ， B (2,0,0) ， C (0,2,0) ， D ( － 2,2,0). ∵ M 是棱 PD 的中点， ∴ M ( － 1,1,1). 【 跟踪训练 】 3. 如图 6-42 ， ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上， OA ＝ 1 ， OD ＝ ， 2 OAB ， △ OAC ， △ ODE ， △ ODF 都是正三角形 . (1) 证明：直线 BC ∥ 面 OEF ； (2) 在线段 DF 上是否存在一点 M ，使得二面角 M - OE - D 的 在的位置 . 图 6-42 (1) 证明： 依题意，在平面 AD FC 中， ∠ CAO ＝ ∠ FOD ＝ 60° ， ∴ AC ∥ OF . 又 OF ⊂ 平面 OEF ， ∴ AC ∥ 平面 OEF . ① 同理，在平面 ABED 中， ∠ BAO ＝ ∠ EOD ＝ 60° ， ∴ AB ∥ OE ， ∴ AB ∥ 平面 OEF . ② ∵ AB ∩ AC ＝ A ， OE ∩ OF ＝ O ， AB ∥ 面 OEF ， AC ∥ 面 OEF ， OE ⊂ 面 OEF ， OF ⊂ 面 OEF ， 由 ①② 可得，平面 ABC ∥ 平面 OEF . 又 BC ⊂ 面 ABC ， ∴ 直线 BC ∥ 面 OEF . ( 本题可先证明 BC ∥ EF 后得证，也可建立空间直 角坐标系 得证 )