高中数学人教a版必修四课时训练：2.2.2 向量减法运算及其几何意义 5页

2.2.2 向量减法运算及其几何意义 课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两 个向量的差． 向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________． (2)作法：在平面内任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则向量 a－b＝________.如图所示． (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 ________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA→ －OB→ ＝________. 一、选择题 1. 在如图四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→ ＝b，BC→＝c，则DC→ 等于( ) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 2．化简OP→ －QP→ ＋PS→＋SP→的结果等于( ) A.QP→ B.OQ→ C.SP→ D.SQ→ 3．若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF→＝OF→ ＋OE→ B.EF→＝OF→ －OE→ C.EF→＝－OF→ ＋OE→ D.EF→＝－OF→ －OE→ 4．在平行四边形 ABCD 中，|AB→＋AD→ |＝|AB→－AD→ |，则有( ) A. AD→ ＝0 B. AB→＝0 或AD→ ＝0 C．ABCD 是矩形 D．ABCD 是菱形 5．若|AB→|＝5，|AC→|＝8，则|BC→|的取值范围是( ) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 6．边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB→－BC→|的值为( ) A．1 B．2 C. 3 2 D. 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于 O 点，则BA→－BC→－OA→ ＋OD→ ＋DA→ ＝________. 8．化简(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ )的结果是________． 9. 如图所示，已知 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 a，b，c，则OD→ ＝ ____________(用 a，b，c 表示)． 10．已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 7＋1，|b|＝ 7－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________. 三、解答题 11. 如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，设AB→＝a，DA→ ＝b，OC→ ＝ c，求证：b＋c－a＝OA→ . 12. 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试作出下列向量 并分别求出其长度， (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c. 能力提升 13．在平行四边形 ABCD 中，AB→＝a，AD→ ＝b，先用 a，b 表示向量AC→和DB→ ，并回答：当 a， b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？ 14．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH→ ＝OA→ ＋OB→ ＋OC→ . 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转 化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如 a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解 题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 3．以向量AB→＝a、AD→＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量为AC→＝a＋b，BD→＝ b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住． 2．2.2 向量减法运算及其几何意义 答案 知识梳理 (1)相反向量 (2)BA→ (3)始点 终点 BA→ 作业设计 1．A 2.B 3.B 4．C [AB→＋AD→ 与AB→－AD→ 分别是平行四边形 ABCD 的两条对角线，且|AB→＋AD→ |＝|AB→－AD→ |， ∴ABCD 是矩形．] 5．C [∵|BC→|＝|AC→－AB→|且 ||AC→|－|AB→||≤|AC→－AB→|≤|A C→|＋|AB→|. ∴3≤|AC→－AB→|≤13. ∴3≤|BC→|≤13.] 6．D [ 如图所示，延长 CB 到点 D，使 BD＝1，连结 AD，则AB→－BC→＝AB→＋CB→ ＝AB→＋BD→ ＝AD→ . 在△ABD 中，AB＝BD＝1， ∠ABD＝120°，易求 AD＝ 3， ∴|AB→－BC→|＝ 3.] 7.CA→ 8．0 解析 方法一 (AB→－CD→ )－(AC→－BD→ ) ＝AB→－CD→ －AC→＋BD→ ＝AB→＋DC→ ＋CA→＋BD→ ＝(AB→＋BD→ )＋(DC→ ＋CA→) ＝AD→ ＋DA→ ＝0. 方法二 (AB→－CD→ )－(AC→－BD→ ) ＝AB→－CD→ －AC→＋BD→ ＝(AB→－AC→)＋(DC→ －DB→ ) ＝CB→＋BC→＝0. 9．a－b＋c 解析 OD→ ＝OA→ ＋AD→ ＝OA→ ＋BC→＝OA→ ＋OC→ －OB→ ＝a＋c－b＝a－b＋c. 10．4 解析 如图所示． 设 O A→＝a，O B→＝b，则|B A→|＝|a－b|. 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则|O C→|＝|a＋b|.由于( 7＋1)2＋( 7－1)2＝42. 故|O A→|2＋|O B→|2＝|B A→|2， 所以△OAB 是∠AOB 为 90°的直角三角形， 从而 OA⊥OB，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C→|＝|B A→|＝4， 即|a＋b|＝4. 11．证明 方法一 ∵b＋c＝DA→ ＋OC→ ＝OC→ ＋CB→＝OB→ ， OA→ ＋a＝OA→ ＋AB→＝OB→ ， ∴b＋c＝OA→ ＋a，即 b＋c－a＝OA→ . 方法二 ∵c－a＝OC→ －AB→＝OC→ －DC→ ＝OD→ ， OD→ ＝OA→ ＋AD→ ＝OA→ －b， ∴c－a＝OA→ －b，即 b＋c－a＝OA→ . 12．解 (1)由已知得 a＋b＝AB→＋BC→＝AC→， 又AC→＝c，∴延长 AC 到 E， 使|CE→|＝|AC→|. 则 a＋b＋c＝AE→，且|AE→|＝2 2. ∴|a＋b＋c|＝2 2. (2)作BF→＝AC→，连接 CF， 则DB→ ＋BF→＝DF→ ， 而DB→ ＝AB→－AD→ ＝a－BC→＝a－b， ∴a－b＋c＝DB→ ＋BF→＝DF→ 且|DF→ |＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC→＝a＋b， DB→ ＝AB→－AD→ ＝a－b. 则有：当 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形 ABCD 为矩形； 当 a，b 满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 ABCD 为菱形； 当 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形 ABCD 为正方形． 14．证明 作直径 BD，连接 DA、DC，则OB→ ＝－OD→ ， DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC. ∴CH∥DA，AH∥DC， 故四边形 AHCD 是平行四边形． ∴AH→ ＝DC→ ， 又DC→ ＝OC→ －OD→ ＝OC→ ＋OB→ ， ∴OH→ ＝OA→ ＋AH→ ＝OA→ ＋DC→ ＝OA→ ＋OB→ ＋OC→ .