安徽狮远县育才学校2020_2021学年高二数学暑假检测试题7（含解析） 7页

1 定远育才学校 2020-2021 学年高二暑假数学检测试题 7 一、选择题（60 分） 1.函数 2 3 4( ) lg( 1) x xf x x     的定义域为（ ） A. ( 1,0) (0,1]  B. ( ]1,1 C. ( 4,1] D. ( 4,0) (0,1]  2.关于函数 ( ) 1 xf x x   ，下列结论正确的是（ ） A. ( )f x 的图象过原点 B. ( )f x 是奇函数 C. ( )f x 在区间(1，＋∞)上单调递增 D. ( )f x 是定义域上的增函数 3.已知定义域为 R 的奇函数 f（x）在（-∞，0）上单调递增，则 f（-2）+f（1）的值 （ ） A.为 0 B.大于 0 C.小于 0 D.可能为正的,也可能为负的 4. 已知 40.5a ， 4 0.5b log ， 0.54c  ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） A.b a c  B. a c b  C. a b c  D. b c a  5.定义在 R 上的偶函数  f x 满足    2f x f x  ，且当  1,0x  时 1( ) 2 x f x      ， 则  2log 8f 等于（ ） A.3 B. 1 8 C. 2 D. 2 6.已知函数 2logy x 的反函数是 ( )y f x ，则函数 (1 )y f x  的图象是 （ ） A. B. C. D. 7.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝ 2 ，动点 P 从点 A 出发，由 2 A→D→C→B 沿边运动，点 P 在 AB 上的射影为 Q.设点 P 运动的路程为 x，△APQ 的面积为 y，则 y＝f(x)的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 ( )f x 与 ( )g x 分别是定义在 R 上的奇函数与偶函数，函数 ( )f x 的零点个数为 F ， ( )g x 的零点个数为G ，且 F ，G 都是常数，则下列判断正确的是（ ） A. F 一定是奇数，G 可能是奇数； B. F 可能是偶数，G 一定是偶数； C. F 一定是奇数，G 一定是偶数； D. F 可能是偶数，G 可能是奇数. 9.定义在 R 上的偶函数  f x 满足对任意   1 2 1 2, ,0x x x x   ，有    2 1 2 1 0f x f x x x   ，则当 *n N 时，有（ ） A.      1 1f n f n f n     B.      1 1f n f n f n     C.      1 1f n f n f n     D.      1 1f n f n f n     10.设函数 f（x）=   2 1, 2 2 , 2 x x f x x      ，则 f（f（2））的值为（ ） A.0 B.3 C. 1 D.2 11.已知函数 1( ) log 1a xf x x   ( 0a  ，且 1a  )，对于 [2,7], ( ) log ( 1)(8 )a mx f x x x     恒成立，实数 m 的取值范围为（ ） A. 81 4m  或 0 8m  B. 81 4m  或 0＜m≤8 C. 79 4m  或 0 8m  D. 79 4m  或 0＜m≤8 12.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ） A. 2 1y x  B. x xy e e  C. cos 2y x      D.  cosy x  3 二、填空题（20 分） 13.已知幂函数 ny x 的图象经过点 127, 3      ，则此幂函数的解析式为________． 14.已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数， 3( ) ( ) 2g x f x ax   ，若 (2) 6g  ，则 ( 2)g   ______. 15.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销 售单价与日均销售量的关系如下表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据分析，这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润. 16.设  f x 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当  1,1x  时   24 2, 1 0 cos ,0 1 x xf x x x         ，则  4f  ______． 三、解答题（70 分） 17.设函数 ( ) 2 | 1| 1f x x x    ， 2( ) 16 8 1g x x x   ，记 ( ) 1f x „ 得解集为 M ， ( ) 4g x „ 的解集为 N . （1）求 M N ； （2）当 x M N  ，求证： 2 2 1 4( ) ( )x f x x f x   „ . 18.已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x． （1）若 f（2）＝3，求 f（1）；又若 f（0）＝a，求 f（a）； （2）设有且仅有一个实数 x0，使得 f（x0）＝x0，求函数 f（x）的解析表达式. 19.已知    0kf x x kx    . （1）判断  f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当 4k  时，判断并证明函数 ( )f x 在(0，2]上的单调性，并求其值域. 20.已知二次函数  y f x 满足    2 4 16f f    ，且  f x 的最大值为 2 . (1) 求  f x 的解析式； (2) 求函数  y f x 在 2t t ，  0t  上的最大值  g t . 21.已知二次函数 f ( x )=x 2+ax+b 关于 x=1 对称,且其图象经过原点. 4 （1）求这个函数的解析式； （2）求函数在 (0,3]x 的值域 22.已知函数 2( ) 2 2( 1)( )f x x ax a a R     . （1）求证：函数 ( )f x 的图像与 x 轴恒有两个不同的交点 A 、 B ，并求此两交点之间距离 的最小值； （2）若 ( ) 3 0f x   在区间 ( 1, )  上恒成立，求实数 a 的取值范围. 5 参考答案 1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 10.A 11.A 12.D 13. 1 3y x   14. 2 15.11. 5 16.1 17. 【解析】（1）由 ( ) 2 | 1| 1 1f x x x     可得 1 3 3 1 x x     ①,或 1 1 1 x x     ② 解①得 41 3x  ,解②得 0 1x  综上，原不等式的解集为 4[0, ]3 ，即 M = 4[0, ]3 ; 2 2( ) 16 8 1 4,16 8 3 0g x x x x x       解得 1 3 4 4x   ，即 1 3 3[ , ], [0, ]4 4 4N M N    , （2）当 x M N  时, ( ) 1f x x  , 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )[ ( )] ( )4 2 4x f x x f x xf x x f x x         ， 故要证的不等式成立. 18.（1）f（a）＝a；（2）f（x）＝x2﹣x+1. 【解析】（1）因为对任意 x∈R，有 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x， 所以 f（f（2）﹣22+2）＝f（2）﹣22+2，又由 f（2）＝3，得 f（3﹣22+2）＝3﹣22+2，即 f（1）＝1； 若 f（0）＝a，即 f（a﹣02+0）＝a﹣02+0，即 f（a）＝a； （2）因为对任意 x∈R，有 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x， 又因为有且只有一个实数 x0，使得 f（x0）＝x0，所以对任意 x∈R，有 f（x）﹣x2+x＝x0， 在上式中令 x＝x0，f（x0）﹣x0 2+x0＝x0，又因为 f（x0）＝x0，则 x0 2＝x0，故 x0＝0 或 1． 若 x0＝0，即 f（x）﹣x2+x＝0，即 f（x）＝x2﹣x， 但方程 x2﹣x＝x0 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 x0≠0； 若 x0＝1，则有 f（x）﹣x2+x＝1，即 f（x）＝x2﹣x+1，易验证该函数满足题设条件； 综上，所求函数为 f（x）＝x2﹣x+1. 19.（1）  f x 是奇函数，不是偶函数，详见解析（2）函数 4( )f x x x   在(0，2]内是减 函数，证明见解析，值域为[4, ) 【解析】（1）由题意得  f x 的定义域为   ,0 0,   ，它关于原点对称， 6 对于任意  ,0x   0, ，    kf x x f xx       ， ∴  f x 是奇函数.    1 1f k    ，  1 1f k  ， 0k  ，∴    1 1f f  ， ∴  f x 不是偶函数， ∴  f x 是奇函数，不是偶函数. (2)函数 4( )f x x x   在(0，2]内是减函数. 证明：任取 1 2, (0,2]x x  ，不妨设 1 2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4( ) ( ) ( )+( ) 4( ) 4( )+ ( )(1 )=( )( 4) f x f x x x x xx x x x x x x xx x x x x xx x x x x x                1 20 2 x x   ，∴ 1 2 0x x  ， 1 20 4x x  ，∴ 1 2 4 0x x   . ∴     1 2 1 2 1 2 1 2 4( )( ) 0x xf x f x x x x x     . ∴    1 2f x f x ，因此，函数 4( )f x x x   在(0，2]内是减函数.      min 2 4; 0,f x f x f x     无最大值， 所以  f x 的值域为[4, ) . 20.（1）   22 4f x x x   （2）   2 2,0 1 2 4 , 1 tg t t t t      【解析】(1)因为    2 4f f  ，∴  f x 对称轴为 1x  ，又  f x 的最大值为 2， 设函数    21 2f x a x   ， 0a  ， 由  2 9 2 16f a     ，得 2a   ， 故    2 22 1 2 2 4f x x x x       ；  2  y f x ＝  222 4 2 1 2x x x      ， 当 1t  时，  y f x 在 2t t ， 上单调递减，     22 4maxf x f t t t     ， 7 当 0 1t  时，  y f x 在 ,1t 上递增，在 1, 2t  上递减，    1 2maxf x f   ． ∴   2 2,0 1 2 4 , 1 tg t t t t      21.（1） 2( ) 2f x x x  ；（2）[ 1,3] ． 【解析】（1）二次函数 f(x)关于 x=1 对称 12 a  即 2a   又 f(x)的图象经过原点 ∴ 0b  ∴f(x)的解析式为 2( ) 2f x x x  ． （2）∵对称轴的横坐标在区间 (0,3] 内 ∴x=1 时, f(x)有最小值, 最小值为-1 , x=3 时, f(x)有最大值, 最大值为 3 ∴f(x)的值域是[ 1,3] ． 22.(1)2;(2) 2 1a   【解析】（1） 2( ) 2 2( 1)( )f x x ax a a R     ,, 2 2 28( 1) 4( 24 1) 4 4( 1) 4 0a a aa a          , 所以函数 ( )f x 的图像与 x 轴恒有两个不同的交点 A 、 B . 设 1( ,0)A x 、 2( ,0)B x ,则 1 2 1 22 , 2 2x x a x x a     , 2 1 2 1 2| | | | ( )AB x x x x     2 2 1 2 1 2( ) 4 2 ( 1) 1 2x x x x a      所以 AB 两交点之间距离的最小值 2 . （2）若 ( ) 3 0f x   在区间 ( 1, )  上恒成立, 则 2 2( ) 3 2 2 1 1 (2 2) 0( 1)f x x ax a x x a x            恒成立, 分离参数 a 得, 2 12 ( 1)1 xa xx    恒成立, 设 2 min 1( ) ,2 ( ) , 1, 1 01 xg x a g x x xx         2 21 ( 1) 2( 1) 2 2( ) ( 1) 2 2 2 21 1 1 x x xg x xx x x               , 当且仅当 1 2, 2 1x x    ,等号成立, min ( ) 2 2 2g x   2 1a  