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- 2021-06-16 发布
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高考达标检测(三十七) 椭圆命题 3 角度
——求方程、研性质、用关系
一、选择题
1.如果 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
解析:选 A x2+ky2=2 转化为椭圆的标准方程,得x2
2
+y2
2
k
=1,
∵x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,
∴2
k
>2,解得 0<k<1.
∴实数 k 的取值范围是(0,1).
2.已知直线 2kx-y+1=0 与椭圆x2
9
+y2
m
=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围为( )
A.(1,9] B.[1,+∞)
C.[1,9)∪(9,+∞) D.(9,+∞)
解析:选 C ∵直线 2kx-y+1=0 恒过定点 P(0,1),
直线 2kx-y+1=0 与椭圆x2
9
+y2
m
=1 恒有公共点,
即点 P(0,1)在椭圆内或椭圆上,
∴0
9
+1
m
≤1,即 m≥1,
又 m≠9,∴1≤m<9 或 m>9.
3.椭圆x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2 分别为左、右焦点,A,B 分别是椭圆
的上顶点和右顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率为( )
A.1
3 B.1
2
C. 2
2 D. 5
5
解析:选 D 如图所示,把 x=-c 代入椭圆方程x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0),
可得 P
-c,b2
a ,
又 A(0,b),B(a,0),F2(c,0),
∴kAB=-b
a
,kPF2=- b2
2ac
,
∵PF2∥AB,∴-b
a
=- b2
2ac
,化简得 b=2c.
∴4c2=b2=a2-c2,即 a2=5c2,∴e= c2
a2
= 5
5 .
4.如图,椭圆与双曲线有公共焦点 F1,F2,它们在第一象限的交
点为 A,且 AF1⊥AF2 ,∠AF1F2=30°,则椭圆与双曲线的离心率之
积为( )
A.2 B. 3
C.1
2 D. 3
2
解析:选 A 设椭圆的长轴长为 2a1,双曲线的实轴长为 2a2,焦距为 2c,
由椭圆与双曲线的定义可知,
|AF1|+|AF2|=2a1,
|AF1|-|AF2|=2a2,
在 Rt△AF1F2 中,∠AF1F2=30°,
则|AF2|=1
2|F1F2|=c,|AF1|= 3
2 |F1F2|= 3c,
所以 2a1=( 3+1)c,2a2=( 3-1)c,
即 e1= c
a1
= 2
3+1
,e2= c
a2
= 2
3-1
,
所以 e1·e2= 2
3+1
× 2
3-1
=2,
即椭圆与双曲线的离心率之积为 2.
5.已知 P(x0,y0)是椭圆 C:x2
4
+y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的左、右焦点,若PF1
―→
·PF2
―→
<0,则 x0 的取值范围为( )
A.
-2 6
3
,2 6
3 B.
-2 3
3
,2 3
3
C.
- 3
3
, 3
3 D.
- 6
3
, 6
3
解析:选 A ∵F1(- 3,0),F2( 3,0),
∴PF1
―→·PF2
―→=(- 3-x0,-y0)·( 3-x0,-y0)=x20+y20-3.
又∵x20
4
+y20=1,∴PF1
―→
·PF2
―→=x20+1-x20
4
-3<0,
解得-2 6
3 b>0)的左、右焦点,点 P(-1,e)在椭圆上,e 为
椭圆的离心率,且点 M 为椭圆短半轴的上顶点,△MF1F2 为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点 F2 作不与坐标轴垂直的直线 l,设 l 与圆 x2+y2=a2+b2 相交于 A,B 两点,与
椭圆相交于 C,D 两点,当F1A―→
·F1B―→=λ且λ∈
2
3
,1 时,求△F1CD 的面积 S 的取值范围.
解:(1)由△MF1F2 是等腰直角三角形,得 b=c,a2=2c2=2b2,
从而得到 e= 2
2
,故而椭圆经过点 -1, 2
2 ,
代入椭圆方程得 1
2b2
+ 1
2b2
=1,解得 b2=1,a2=2,
故所求椭圆的方程为x2
2
+y2=1.
(2)由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),
由题意,设直线 l 的方程为 x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由 x=ty+1,
x2+y2=3
消去 x,得(t2+1)y2+2ty-2=0,
则 y1+y2=- 2t
t2+1
,y1y2=- 2
t2+1
,
∴F1A―→
·F1B―→=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2
=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4
=-2- 4t2
t2+1
+4=2-2t2
t2+1
.
∵F1A―→
·F1B―→∈
2
3
,1 ,∴2
3
≤2-2t2
t2+1
≤1,
解得 t2∈
1
3
,1
2 .
由
x=ty+1,
x2
2
+y2=1 消去 x,得(t2+2)y2+2ty-1=0.
设 C(x3,y3),D(x4,y4),
则 y3+y4=- 2t
t2+2
,y3y4=- 1
t2+2
,
∴S△F1CD=1
2|F1F2|·|y3-y4|= y3+y42-4y3y4
=
- 2t
t2+2 2+ 4
t2+2
= 8t2+1
t2+22.
设 t2+1=m,则 S= 8m
m+12
= 8
m+1
m
+2
,
其中 m∈
4
3
,3
2 ,
∵S 关于 m 在
4
3
,3
2 上为减函数,
∴S∈
4 3
5
,4 6
7 ,
即△F1CD 的面积的取值范围为
4 3
5
,4 6
7 .
11.已知 F1,F2 分别是长轴长为 2 2的椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,A1,
A2 是椭圆 C 的左、右顶点,P 为椭圆上异于 A1,A2 的一个动点,O 为坐标原点,点 M 为
线段 PA2 的中点,且直线 PA2 与 OM 的斜率之积恒为-1
2.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线
与 x 轴交于点 N,点 N 的横坐标的取值范围是 -1
4
,0 ,求线段 AB 长的取值范围.
解:(1)由题意可知 2a=2 2,则 a= 2,设 P(x0,y0),
∵直线 PA2 与 OM 的斜率之积恒为-1
2
,
∴
y0
2
x0+ 2
2
· y0
x0- 2
=-1
2
,
∴x20
2
+y20=1,∴b=1,
故椭圆 C 的方程为x2
2
+y2=1.
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 Q(x0,y0).
联立
y=kx+1,
x2
2
+y2=1 消去 y,
得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
则 x1+x2=- 4k2
2k2+1
,x1x2=2k2-2
2k2+1
,
∴x0=- 2k2
2k2+1
,y0=k(x0+1)= k
2k2+1
,
∴AB 的中点 Q
- 2k2
2k2+1
, k
2k2+1 ,
∴QN 的直线方程为 y- k
2k2+1
=-1
k
x+ 2k2
2k2+1 .
令 y=0,得 x=- k2
2k2+1
,
∴N
- k2
2k2+1
,0 ,由已知得-1
4
<- k2
2k2+1
<0,
∴0<2k2<1,
∴|AB|= 1+k2· x1+x22-4x1x2
= 1+k2·
- 4k2
2k2+1 2-4×2k2-2
2k2+1
= 1+k2·2 2 1+k2
2k2+1
= 2
1+ 1
2k2+1 .
∵1
2
< 1
2k2+1
<1,
∴|AB|∈
3 2
2
,2 2 ,
故线段 AB 长的取值范围为
3 2
2
,2 2 .
12.已知椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为 6
3
,焦距为 2 2,过点 D(1,0)且不过
点 E(2,1)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 MB 的斜率;
(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.
解:(1)由题意可得 2c=2 2,即 c= 2,
又 e=c
a
= 6
3
,解得 a= 3, b= a2-c2=1,
所以椭圆的方程为x2
3
+y2=1.
(2)由直线 l 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,设 A(1,y1),B(1,-y1),
则直线 AE 的方程为 y-1=(1-y1)(x-2).
令 x=3,可得 M(3,2-y1),
所以直线 BM 的斜率 kBM=2-y1--y1
3-1
=1.
(3)直线 BM 与直线 DE 平行.
理由如下:当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)知 kBM=1.
又因为直线 DE 的斜率 kDE=1-0
2-1
=1,所以 BM∥DE;
当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1)(k≠1),
A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线 AE 的方程为 y-1=y1-1
x1-2
(x-2).
令 x=3,得 M
3,x1+y1-3
x1-2 ,
所以直线 BM 的斜率 kBM=
x1+y1-3
x1-2
-y2
3-x2
.
联立 y=kx-1,
x2+3y2=3
消去 y,
得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
则 x1+x2= 6k2
1+3k2
,x1x2=3k2-3
1+3k2
,
因为 kBM-1
=kx1-1+x1-3-kx2-1x1-2-3-x2x1-2
3-x2x1-2
=k-1[-x1x2+2x1+x2-3]
3-x2x1-2
=k-1
3-3k2
1+3k2
+ 12k2
1+3k2
-3
3-x2x1-2
=0,
所以 kBM=1=kDE,即 BM∥DE.
综上所述,直线 BM 与直线 DE 平行.
已知椭圆 M:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点 F 的坐标为(1,0),P,
Q 为椭圆上位于 y 轴右侧的两个动点,使 PF⊥QF,C 为 PQ 中点,
线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴,y 轴于点 A,B(线段 PQ 不垂直 x 轴),
当 Q 运动到椭圆的右顶点时,|PF|= 2
2 .
(1)求椭圆 M 的方程;
(2)若 S△ABO∶S△BCF=3∶5,求直线 PQ 的方程.
解:(1) 当 Q 运动到椭圆的右顶点时,PF⊥x 轴,
∴|PF|=b2
a
= 2
2
,
又 c=1,a2=b2+c2,∴a= 2,b=1.
∴椭圆 M 的方程为x2
2
+y2=1.
(2)设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,显然 k≠0,
联立椭圆方程得:(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0,
设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),
则
x1+x2= -4kb
2k2+1
>0, ①
x1x2=2b2-1
2k2+1
>0, ②
Δ=82k2-b2+1>0, ③
由 PF―→
· QF―→=0,得(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(k2+1)x1x2+(kb-1)(x1+x2)+b2+1=0,
代入化简得 3b2-1+4kb=0.④
由 y1+y2=k(x1+x2)+2b= 2b
2k2+1
,
得 C
-2kb
2k2+1
, b
2k2+1 ,
∴线段 PQ 的中垂线 AB 的方程为
y- b
2k2+1
=-1
k
x+ 2kb
2k2+1 .
令 y=0,x=0,可得 A
-kb
2k2+1
,0 ,B
0, -b
2k2+1 ,
则 A 为 BC 中点,
故S△BCF
S△ABO
=2S△ABF
S△ABO
=2|AF|
|AO|
=21-xA
xA
=2
1
xA
-1 .
由④式得,k=1-3b2
4b
,则 xA= -kb
2k2+1
= 6b4-2b2
9b4+2b2+1
,
∴S△BCF
S△ABO
=2
1
xA
-1 =6b4+8b2+2
6b4-2b2
=5
3
,解得 b2=3.
∴b= 3,k=-2 3
3
或 b=- 3,k=2 3
3 .
经检验,满足条件①②③,
故直线 PQ 的方程为 y=2 3
3 x- 3或 y=-2 3
3 x+ 3.
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