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- 2021-06-16 发布
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第5讲 指数函数
[基础题组练]
1.若函数f(x)=(2a-5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内( )
A.为增函数 B.为减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析:选A.由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.
2.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )
A.M=N B.M≤N
C.MN
解析:选D.因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N,故选D.
3.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为( )
A.[9,81] B.[3,9]
C.[1,9] D.[1,+∞)
解析:选C.由f(x)过定点(2,1)可知b=2,所以f(x)=3x-2且在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.
4.已知函数y=kx+a的图象如图所示,则函数y=ax+k的图象可能是( )
解析:选B.由函数y=kx+a的图象可得k<0,0-1,所以-10时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且是增函数,故选C.
6.不等式2-x2+2x>的解集为 .
解析:不等式2-x2+2x >可化为>,等价于x2-2x0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的递减区间是 .
解析:由f(1)=得a2=.
又a>0,所以a=,因此f(x)=.
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上是增加的,所以f(x)的递减区间是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
8.设偶函数g(x)=a|x+b|在(0,+∞)上是增加的,则g(a)与g(b-1)的大小关系是________.
解析:由于g(x)=a|x+b|是偶函数,知b=0,
又g(x)=a|x|在(0,+∞)上是增加的,得a>1.
则g(b-1)=g(-1)=g(1),故g(a)>g(1)=g(b-1).
答案:g(a)>g(b-1)
9.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值等于,求a的值.
解:(1)令t=|x|-a,则f(x)=,不论a取何值,t在(-∞,0]上是减少的,在(0,+∞)上是增加的,又y=是减少的,
因此f(x)的递增区间是(-∞,0],
递减区间是(0,+∞).
(2)由于f(x)的最大值是,
且=,
所以函数g(x)=|x|-a应该有最小值-2,从而a=2.
10.(2020·福建养正中学模拟)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+2ax(-3≤x≤3).
(1)若g(x)在[-3,3]上是单调函数,求a的取值范围;
(2)当a=-1时,求函数y=f(g(x))的值域.
解:(1)g(x)=(x+a)2-a2图象的对称轴为直线x=-a,因为g(x)在[-3,3]上是单调函数,所以-a≥3或-a≤-3,即a≤-3或a≥3.故a的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
(2)当a=-1时,f(g(x))=2 (-3≤x≤3).
令u=x2-2x,y=2u.
因为x∈[-3,3],所以u=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,15].
而y=2u是增函数,所以≤y≤215,
所以函数y=f(g(x))的值域是.
[综合题组练]
1.(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y=(x∈R)的值域为( )
A.(0,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.
解析:选B.y===1-,
因为2x>0,所以1+2x>1,
所以0<<1,-1<-<0,0<1-<1,即00,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=(3-10m)是增函数,则a=________.
解析:根据题意,得3-10m>0,解得m<;
当a>1时,函数f(x)=ax在区间[-1,2]上是增加的,
最大值为a2=8,解得a=2,最小值为m=a-1==>,不合题意,舍去;
当0-2t2+1即3t2-2t-1>0.
解得t>1或t<-,所以该不等式的解集为.
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