北师大版高中数学选修1-1同步练习【第1章】全称量词与全称命题（含答案） 4页

全称量词与全称命题 同步练习 一,选择题 1．设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充 分条件，则丁是甲的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．b＝c＝0 是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过原点的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设有非空集合 A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B 且 a∈C”，则“a ∈B”是“a∈A”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．x∈R，(1－|x|)(1＋x)是正数的充分必要条件是( ) A．|x|＜1 B．x＜1 C．x＜－1 D．x＜1 且 x≠－1 5．三个实数 a、b、c 不全为零的充要条件是( ) A．a、b、c 都不是零 B．a、b、c 中至多有一个是零 C．a、b、c 中只有一个是零 D．a、b、c 中至少有一个不是零 6．下列说法正确的是( ) A．x≥3 是 x＞5 的充分而不必要条件 B．x≠±1 是|x|≠1 的充要条件 C．若 ，则 p 是 q 的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形 二,填空题 1．用符号“ ”与“ ”填空． (1)x＋y＝7________x2－y2－6x＋8y＝7 (2)ab＝0________a＝0 2．ax2＋2x＋1＝0 有且只有一个负的实根的充要条件是________． 3．集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则“x∈A 或 x∈B”是“x∈A∩B”的________ 条件． 4．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是 ________． 三,解答题 1．指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件？ (1)p：m 为有理数 q：m 为实数 (2)p：x2－1＝0 q：x－1＝0 (3)p：内错角相等 q：两直线平行 (4)p：四边相等 q：四边形为正方形 (5)q：a≠0 p：ab≠0 (6)p：a、b 都不为零 q：a、b 不都为零 2 a 0 x a |x|2．已知 ＞ ，求证： ＞ 的充要条件是 ＞ ．a 3．关于 x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个异号实根的充要条件 是什么？为什么？ 参考答案 一,选择题 1 B(． 提示；①甲 乙②乙 丙③丁 丙．由①②③知甲 丁     / / 由③知丁 甲，故选 ．/ B 2．A C，故选 B． 4．D(提示：解不等式(1－|x|(1＋x)＞0 得 x＜1 且 x≠－1) 5．A 6．B 二,填空题 1 (1) (x y 6x 8y = (x y)(x y) 6x 8y = 7(x y) 6x2 2． － － ＋ ＋ － － ＋ － － ＋8y=x＋y=7) (2) (ab = 0 a = 0 b = 0 a = 0)//  或 2 a = 0 a = 1( 1)a = 0 x = 0 2)a 0 = 4． 或 提示： 时 － ＜ ； ≠ 时，Δ －1 2 4a=0，a=1，此时 x=－1＜0．∴a=0 或 1． 3．必要而不充分 4 0 x 1 x 5x 0 1 x2 0 x 5 x 0 1 x 1 0 x 1 2 ． ＜ ＜ 解： ＋ ＞ － ＞ ＜－ 或 ＞ － ＜ ＜ ＜ ＜        三,解答题 1．(1)p 是 q 的充分而不必要条件． (2)p 是 q 的必要而不充分条件． (3)p 与 q 互为充要条件． (4)p 是 q 的必要而不充分条件． (5)p 是 q 的必要而不充分条件． (6)p 是 q 的充分而不必要条件． 2．证明：(此题是二次不等式的开方解法) ①充分性：∵ ＞ ＞ ∴ ＞ ＞ · ，即 ＞|x| 0 |x| =|x||x| |x| x a2 2a a a a ②必要性：∵ ＞ ， ＞ ， ∴ ＜－ 或 ＞ ，当 ＜－ 时，x a a 0 x x x2 a a a x 0 |x|= x |x| |x| x x 0 |x|= x |x| |x| ＜ ，故 － ， ∴－ ＜－ ．即 ＞ ；当 ＞ 时， ＞ ，故 ， ∴ ＞ ，总之有 ＞ a a a a a 3．解：关于 x 的实系数的一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的 充要条件是 ac＜0．证明：(1)充分性：∵ac＜0，∴－4ac＞0，∴Δ=b2－4ac ＞0，∴设 x1，x2 为原方程的两个不等实根，又 由韦达定理得： ＜ ，从而 ， 异号．即： ＜ 是关于x x = a c = ac a 0 x x ac 01 2 2 1 2 x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的充分条件．(2) 必要性；设 x1，x2 是关于 x 的实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的两 个异号实根，则 ＜ ，∴ ＜ ．即： ＜ 是关于 的实系数一x x = c a 0 ac 0 ac 0 x1 2 元二次方程 ax2＋bx＋c=0 有两个异号实根的必要条件．综合(1)(2)可得 原结论成立